Номер 29.56, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.56, страница 188.

29.56. Решите неравенство:

a) $|3x + 5| + |x^2 - 7| > |x^2 + 3x - 2|;$

б) $|x^2 - \frac{1}{x}| + |x^2 + \frac{5}{x^2 - 3}| > |\frac{1}{x} + \frac{5}{x^2 - 3}|;$

в) $|3x + 5| + |x^2 - 7| \leq |x^2 + 3x - 2|;$

г) $|x^2 - \frac{1}{x}| + |x^2 + \frac{5}{x^2 - 3}| \leq |\frac{1}{x} + \frac{5}{x^2 - 3}|.$

а) $|3x + 5| + |x^2 - 7| > |x^2 + 3x - 2|$
Заметим, что выражение в модуле в правой части неравенства является суммой выражений в модулях в левой части: $x^2 + 3x - 2 = (3x + 5) + (x^2 - 7)$.
Пусть $a = 3x + 5$ и $b = x^2 - 7$. Тогда неравенство принимает вид $|a| + |b| > |a + b|$.
Это неравенство, являющееся строгим случаем неравенства треугольника, выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки, то есть $ab < 0$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:$(3x + 5)(x^2 - 7) < 0$.
Найдем корни левой части:$3x + 5 = 0 \implies x = -5/3$.$x^2 - 7 = 0 \implies x = \pm\sqrt{7}$.
Расположим корни на числовой оси: $-\sqrt{7}$, $-5/3$, $\sqrt{7}$ (так как $2 < \sqrt{7} < 3$ и $1 < 5/3 < 2$, то $-\sqrt{7} < -5/3$).Решим неравенство методом интервалов.
Выбираем интервалы со знаком "минус": $(-\infty, -\sqrt{7})$ и $(-5/3, \sqrt{7})$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{7}) \cup (-5/3, \sqrt{7})$.

б) $|x^2 - \frac{1}{x}| + |x^2 + \frac{5}{x^2 - 3}| > |\frac{1}{x} + \frac{5}{x^2 - 3}|$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x^2 - 3 \neq 0 \implies x \neq \pm\sqrt{3}$.
Пусть $a = x^2 - \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2 - 3}$.Тогда $a+b = (x^2 - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x} + \frac{5}{x^2 - 3}) = x^2 + \frac{5}{x^2 - 3}$.Неравенство можно переписать в виде $|a| + |a+b| > |b|$.
Воспользуемся свойством $|u| + |v| > |u+v|$, которое выполняется, когда $uv < 0$. Пусть $u=a, v=-b$. Тогда неравенство примет вид $|a| + |-(a+b)| > |-b| \iff |a|+|a+b|>|b|$. Это не наш случай.
Попробуем другую замену. Пусть $u = x^2 - \frac{1}{x}$ и $v = -(x^2 + \frac{5}{x^2 - 3})$. Тогда неравенство имеет вид $|u| + |-v| > |-(u+v)| \iff |u|+|v|>|u+v|$. Это верно при $uv < 0$.То есть $(x^2 - \frac{1}{x}) \cdot (-(x^2 + \frac{5}{x^2 - 3})) < 0$, что равносильно $(x^2 - \frac{1}{x})(x^2 + \frac{5}{x^2 - 3}) > 0$.
Преобразуем множители:$x^2 - \frac{1}{x} = \frac{x^3-1}{x} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x}$. Выражение $x^2+x+1 > 0$ при всех $x$.$x^2 + \frac{5}{x^2 - 3} = \frac{x^2(x^2-3)+5}{x^2-3} = \frac{x^4-3x^2+5}{x^2-3}$. Числитель $x^4-3x^2+5$ всегда положителен (дискриминант для $t=x^2$ равен $D=9-20 < 0$).
Таким образом, неравенство равносильно:$\frac{x-1}{x(x^2 - 3)} > 0 \iff \frac{x-1}{x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})} > 0$.
Решаем методом интервалов с корнями $-\sqrt{3}, 0, 1, \sqrt{3}$.Интервалы $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \sqrt{3})$, $(\sqrt{3}, +\infty)$.Знаки выражения на интервалах: +, -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, 1) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

в) $|3x + 5| + |x^2 - 7| \le |x^2 + 3x - 2|$
Как и в пункте а), пусть $a = 3x + 5$ и $b = x^2 - 7$. Неравенство принимает вид $|a| + |b| \le |a + b|$.
Из неравенства треугольника известно, что $|a| + |b| \ge |a + b|$. Следовательно, данное неравенство может выполняться только в случае равенства: $|a| + |b| = |a + b|$.
Это равенство достигается тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или хотя бы одно из них равно нулю, то есть $ab \ge 0$.
Решаем неравенство:$(3x + 5)(x^2 - 7) \ge 0$.
Используя результаты анализа из пункта а), где мы решали $(3x + 5)(x^2 - 7) < 0$, мы можем выбрать промежутки, где выражение неотрицательно.Корни: $-\sqrt{7}, -5/3, \sqrt{7}$.Знаки на интервалах: -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая концы отрезков.
Ответ: $x \in [-\sqrt{7}, -5/3] \cup [\sqrt{7}, +\infty)$.

г) $|x^2 - \frac{1}{x}| + |x^2 + \frac{5}{x^2 - 3}| \le |\frac{1}{x} + \frac{5}{x^2 - 3}|$
ОДЗ: $x \neq 0, x \neq \pm\sqrt{3}$.
Используя те же обозначения, что и в пункте б), $a = x^2 - \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2 - 3}$, получаем неравенство $|a| + |a+b| \le |b|$.
Как и в пункте в), это возможно только при равенстве $|a| + |a+b| = |b|$, что равносильно $|a| + |-(a+b)|=|b|$. Пусть $u=a, v=-(a+b)$. Тогда $|u|+|v|=|u+v|$, что верно при $uv \ge 0$.
$a(-(a+b)) \ge 0 \implies -a(a+b) \ge 0 \implies a(a+b) \le 0$.
$(x^2 - \frac{1}{x})(x^2 + \frac{5}{x^2-3}) \le 0$.
Используя упрощения из пункта б), приходим к неравенству:$\frac{x-1}{x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})} \le 0$.
Корни числителя и знаменателя: $-\sqrt{3}, 0, 1, \sqrt{3}$.Знаки выражения на интервалах: +, -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "минус". Также нужно учесть, где выражение равно нулю. Это происходит при $x-1=0 \implies x=1$. Точки $x=0, x=\pm\sqrt{3}$ из ОДЗ исключаются.
Решением являются интервалы $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(1, \sqrt{3})$, а также точка $x=1$.
Ответ: $x \in (-\sqrt{3}, 0) \cup [1, \sqrt{3})$.