Номер 30.2, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.2, страница 189.

30.2. а) $\sqrt{x^2 - 4x - 3} = 3;$

б) $\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1} = 1;$

В) $\sqrt{36 - x - 12x^2} = 5;$

Г) $\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3} = 1.$

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 - 4x - 3} = 3$.

Для решения уравнения возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Так как правая часть уравнения (число 3) является положительным числом, данное преобразование является равносильным при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

$(\sqrt{x^2 - 4x - 3})^2 = 3^2$

$x^2 - 4x - 3 = 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 3 - 9 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -12$

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

При $x = 6$:

$\sqrt{6^2 - 4(6) - 3} = \sqrt{36 - 24 - 3} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Корень $x=6$ подходит.

При $x = -2$:

$\sqrt{(-2)^2 - 4(-2) - 3} = \sqrt{4 + 8 - 3} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Корень $x=-2$ подходит.

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -2$.

б)

Дано уравнение: $\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1} = 1$.

Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корня.

$(\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1})^6 = 1^6$

$x^3 - 2x^2 + 1 = 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 - 2x^2 + 1 - 1 = 0$

$x^3 - 2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x^2 = 0$ или $x - 2 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 2$

Так как мы возводили в четную степень, необходимо выполнить проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение.

При $x = 0$:

$\sqrt[6]{0^3 - 2(0)^2 + 1} = \sqrt[6]{1} = 1$.

$1 = 1$. Корень $x=0$ подходит.

При $x = 2$:

$\sqrt[6]{2^3 - 2(2)^2 + 1} = \sqrt[6]{8 - 2(4) + 1} = \sqrt[6]{8 - 8 + 1} = \sqrt[6]{1} = 1$.

$1 = 1$. Корень $x=2$ подходит.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

в)

Дано уравнение: $\sqrt{36 - x - 12x^2} = 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{36 - x - 12x^2})^2 = 5^2$

$36 - x - 12x^2 = 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$12x^2 + x + 25 - 36 = 0$

$12x^2 + x - 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4(12)(-11) = 1 + 528 = 529 = 23^2$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 12} = \frac{-24}{24} = -1$

$x_2 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 12} = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}$

Выполним проверку найденных корней.

При $x = -1$:

$\sqrt{36 - (-1) - 12(-1)^2} = \sqrt{36 + 1 - 12} = \sqrt{25} = 5$.

$5 = 5$. Корень $x=-1$ подходит.

При $x = \frac{11}{12}$:

$\sqrt{36 - \frac{11}{12} - 12(\frac{11}{12})^2} = \sqrt{36 - \frac{11}{12} - 12 \cdot \frac{121}{144}} = \sqrt{36 - \frac{11}{12} - \frac{121}{12}} = \sqrt{36 - \frac{132}{12}} = \sqrt{36 - 11} = \sqrt{25} = 5$.

$5 = 5$. Корень $x=\frac{11}{12}$ подходит.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \frac{11}{12}$.

г)

Дано уравнение: $\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3} = 1$.

Так как корень нечетной степени, можно без ограничений возводить обе части уравнения в седьмую степень.

$(\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3})^7 = 1^7$

$1 - x^2 - x^3 = 1$

$-x^2 - x^3 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^3 + x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x^2 = 0$ или $x + 1 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = -1$

Поскольку все преобразования были равносильными, проверка не обязательна. Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1$.