Номер 30.1, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.1, страница 189.

Решите уравнение:

30.1. а) $\sqrt{x} = 7$;

б) $\sqrt[6]{x+1} = -1$;

в) $\sqrt{6-x} = 8$;

г) $\sqrt[7]{x+1} = -2$.

а) Дано уравнение $\sqrt{x} = 7$.
По определению, арифметический квадратный корень извлекается из неотрицательного числа, поэтому область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условием $x \ge 0$. Правая часть уравнения (7) является положительным числом, что не противоречит свойству корня.
Для нахождения $x$ возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 7^2$
$x = 49$
Найденное значение $x=49$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{49} = 7$.

Ответ: $49$.

б) Дано уравнение $\sqrt[6]{x+1} = -1$.
В левой части уравнения находится корень четной степени (шестой). По определению, значение арифметического корня четной степени всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x+1} \ge 0$ для всех $x$, при которых выражение имеет смысл.
В правой части уравнения стоит отрицательное число (-1). Поскольку неотрицательная величина не может быть равна отрицательной, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений.

в) Дано уравнение $\sqrt{6-x} = 8$.
ОДЗ для этого уравнения определяется требованием неотрицательности подкоренного выражения: $6-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 6$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt{6-x})^2 = 8^2$
$6-x = 64$
Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$-x = 64 - 6$
$-x = 58$
$x = -58$
Корень $x = -58$ удовлетворяет ОДЗ ($-58 \le 6$). Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение: $\sqrt{6 - (-58)} = \sqrt{6+58} = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: $-58$.

г) Дано уравнение $\sqrt[7]{x+1} = -2$.
В уравнении присутствует корень нечетной степени (седьмой). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения и может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные или ноль). Поэтому ОДЗ не накладывает ограничений на $x$.
Возведем обе части уравнения в седьмую степень:
$(\sqrt[7]{x+1})^7 = (-2)^7$
$x+1 = -128$
Найдем $x$ из полученного линейного уравнения:
$x = -128 - 1$
$x = -129$
Проверка: $\sqrt[7]{-129+1} = \sqrt[7]{-128} = -2$.

Ответ: $-129$.