Номер 29.57, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.57, страница 189.

29.57. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень:

а) $|x + 1| + 2 |x - 1| = 1 - a$;

б) $2 |x - 5| - |x + 6| = 2a - 1$.

а)

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = |x+1| + 2|x-1|$. Исходное уравнение можно представить в виде $f(x) = 1-a$. Задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых горизонтальная прямая $y = 1-a$ пересекает график функции $y = f(x)$ ровно в одной точке.

Выражения под знаками модуля обращаются в ноль в точках $x=-1$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них:

1. При $x < -1$:
$f(x) = -(x+1) - 2(x-1) = -x-1-2x+2 = -3x+1$.

2. При $-1 \le x < 1$:
$f(x) = (x+1) - 2(x-1) = x+1-2x+2 = -x+3$.

3. При $x \ge 1$:
$f(x) = (x+1) + 2(x-1) = x+1+2x-2 = 3x-1$.

График функции $y=f(x)$ является ломаной линией. Найдем значения функции в "узловых" точках (точках излома):

$f(-1) = |-1+1| + 2|-1-1| = 0 + 2(2) = 4$.

$f(1) = |1+1| + 2|1-1| = 2 + 0 = 2$.

Проанализируем поведение функции. На промежутке $(-\infty, 1]$ функция убывает (сначала с угловым коэффициентом -3, затем с коэффициентом -1). На промежутке $[1, \infty)$ функция возрастает (с угловым коэффициентом 3). Следовательно, в точке $x=1$ функция достигает своего наименьшего значения (глобального минимума).

Минимальное значение функции: $f_{min} = f(1) = 2$.

Уравнение $f(x) = 1-a$ будет иметь единственный корень только в том случае, если прямая $y=1-a$ пройдет через точку минимума графика функции $y=f(x)$. Это означает, что значение правой части уравнения должно быть равно минимальному значению функции.

Приравняем правую часть к минимальному значению функции:

$1-a = 2$

$a = 1-2$

$a = -1$

При $1-a > 2$ уравнение будет иметь два корня, а при $1-a < 2$ — не будет иметь корней.

Ответ: $a = -1$.

б)

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $g(x) = 2|x-5| - |x+6|$. Уравнение принимает вид $g(x) = 2a-1$. Нам нужно найти, при каких значениях параметра $a$ график функции $y=g(x)$ пересекается с горизонтальной прямой $y=2a-1$ ровно в одной точке.

Выражения под знаками модуля обращаются в ноль в точках $x=5$ и $x=-6$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка:

1. При $x < -6$:
$g(x) = 2(-(x-5)) - (-(x+6)) = -2x+10 + x+6 = -x+16$.

2. При $-6 \le x < 5$:
$g(x) = 2(-(x-5)) - (x+6) = -2x+10 - x-6 = -3x+4$.

3. При $x \ge 5$:
$g(x) = 2(x-5) - (x+6) = 2x-10 - x-6 = x-16$.

График функции $y=g(x)$ представляет собой ломаную. Найдем значения функции в точках излома:

$g(-6) = 2|-6-5| - |-6+6| = 2(11) - 0 = 22$.

$g(5) = 2|5-5| - |5+6| = 0 - 11 = -11$.

Проанализируем поведение функции: на промежутке $(-\infty, 5]$ функция убывает (сначала с угловым коэффициентом -1, затем -3), а на промежутке $[5, \infty)$ — возрастает (с угловым коэффициентом 1). Таким образом, в точке $x=5$ функция достигает своего наименьшего значения (глобального минимума).

Минимальное значение функции: $g_{min} = g(5) = -11$.

Уравнение будет иметь единственный корень, если прямая $y=2a-1$ коснется графика функции в его точке минимума.

Для этого необходимо выполнение условия:

$2a-1 = -11$

$2a = -10$

$a = -5$

Если $2a-1 > -11$, уравнение будет иметь два корня. Если $2a-1 < -11$, корней не будет.

Ответ: $a = -5$.