Номер 29.60, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.60, страница 189.

29.60. Найдите наименьшее значение функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 10|;$

б) $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 9|.$

Для решения задачи воспользуемся геометрической интерпретацией модуля. Выражение $|x - a|$ равно расстоянию на числовой прямой между точками с координатами $x$ и $a$. Таким образом, функция $f(x) = \sum_{i=1}^{n} |x - a_i|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ до набора точек $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Задача сводится к нахождению такой точки $x$ на числовой прямой, для которой сумма расстояний до заданных точек будет минимальной. Известно, что такая сумма расстояний достигает своего наименьшего значения в точке, которая является медианой набора чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$.

• Если количество точек $n$ нечетное, то медианой является единственная точка, расположенная посередине упорядоченного набора. Наименьшее значение функции достигается в этой точке.
• Если количество точек $n$ четное, то медианой является любое число, расположенное между двумя центральными точками упорядоченного набора. В этом случае функция принимает одинаковое минимальное значение для любого $x$ из этого промежутка.

а)

Рассмотрим функцию $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 10|$. Здесь мы ищем точку $x$, которая минимизирует сумму расстояний до точек $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Количество точек $n = 10$, что является четным числом. Точки уже упорядочены по возрастанию. Две центральные точки в этом наборе — это $5$ и $6$. Следовательно, функция достигает своего наименьшего значения при любом $x$, принадлежащем отрезку $[5, 6]$. Для нахождения этого значения выберем любую удобную точку из этого отрезка, например, $x = 5$.

Вычислим значение функции при $x = 5$: $f(5) = |5 - 1| + |5 - 2| + |5 - 3| + |5 - 4| + |5 - 5| + |5 - 6| + |5 - 7| + |5 - 8| + |5 - 9| + |5 - 10|$ $f(5) = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$ $f(5) = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 10 + 15 = 25$.

Можно также убедиться, что значение функции постоянно на отрезке $[5, 6]$, сгруппировав слагаемые: $f(x) = (|x-1| + |x-10|) + (|x-2| + |x-9|) + (|x-3| + |x-8|) + (|x-4| + |x-7|) + (|x-5| + |x-6|)$ Для любого $x \in [5, 6]$: $|x-1| + |x-10| = (x-1) + (10-x) = 9$ $|x-2| + |x-9| = (x-2) + (9-x) = 7$ $|x-3| + |x-8| = (x-3) + (8-x) = 5$ $|x-4| + |x-7| = (x-4) + (7-x) = 3$ $|x-5| + |x-6| = (x-5) + (6-x) = 1$ Суммируя эти значения, получаем: $f(x) = 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25$.

Ответ: 25.

б)

Рассмотрим функцию $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 9|$. Здесь мы ищем точку $x$, которая минимизирует сумму расстояний до точек $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Количество точек $n = 9$, что является нечетным числом. Точки уже упорядочены. Медианой этого набора является центральная точка. Номер медианы в упорядоченном ряду находится по формуле $(n+1)/2$. Номер медианы: $(9+1)/2 = 5$. Пятая точка в наборе — это число $5$. Следовательно, функция достигает своего наименьшего значения в точке $x = 5$.

Вычислим значение функции при $x = 5$: $f(5) = |5 - 1| + |5 - 2| + |5 - 3| + |5 - 4| + |5 - 5| + |5 - 6| + |5 - 7| + |5 - 8| + |5 - 9|$ $f(5) = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4$ $f(5) = (1 + 2 + 3 + 4) + 0 + (1 + 2 + 3 + 4) = 10 + 10 = 20$.

Ответ: 20.