Номер 30.5, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.5, страница 190.

30.5. a) $\sqrt{\lg (1 - x)} = 1$

б) $\log_{0.2} \sqrt[3]{6x^2 - 25} = -1$

в) $\sqrt{\log_2 (x^2 + 3x - 24)} = 2$

г) $\log_{0.25} \sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} = -0.5$

a) $\sqrt{\lg(1 - x)} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма – строго положительным.

$\begin{cases} \lg(1-x) \ge 0 \\ 1-x > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x < 1$.

Решим первое неравенство: $\lg(1-x) \ge \lg(1)$. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, то $1-x \ge 1$, откуда $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.

Пересекая условия $x < 1$ и $x \le 0$, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0]$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{\lg(1 - x)})^2 = 1^2$

$\lg(1 - x) = 1$

По определению десятичного логарифма:

$1 - x = 10^1$

$1 - x = 10$

$-x = 9$

$x = -9$

3. Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Так как $-9 \le 0$, корень подходит.

Ответ: -9

б) $\log_{0,2} \sqrt[3]{6x^2 - 25} = -1$

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\sqrt[3]{6x^2 - 25} > 0$

Возведем обе части в куб:

$6x^2 - 25 > 0$

$6x^2 > 25$

$x^2 > \frac{25}{6}$

$|x| > \sqrt{\frac{25}{6}}$, то есть $|x| > \frac{5}{\sqrt{6}}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{\sqrt{6}}) \cup (\frac{5}{\sqrt{6}}, \infty)$.

2. Решим уравнение. По определению логарифма:

$\sqrt[3]{6x^2 - 25} = (0,2)^{-1}$

$\sqrt[3]{6x^2 - 25} = (\frac{1}{5})^{-1}$

$\sqrt[3]{6x^2 - 25} = 5$

Возведем обе части в куб:

$6x^2 - 25 = 5^3$

$6x^2 - 25 = 125$

$6x^2 = 150$

$x^2 = 25$

$x_1 = 5, x_2 = -5$

3. Проверим корни. Нам нужно, чтобы $|x| > \frac{5}{\sqrt{6}}$.

Для $x=5$: $|5| = 5$. Сравним $5$ и $\frac{5}{\sqrt{6}}$. Так как $\sqrt{6} > 1$, то $5 > \frac{5}{\sqrt{6}}$. Корень подходит.

Для $x=-5$: $|-5| = 5$. Аналогично, корень подходит.

Ответ: -5; 5

в) $\sqrt{\log_2 (x^2 + 3x - 24)} = 2$

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а под знаком логарифма – строго положительным.

$\begin{cases} \log_2(x^2 + 3x - 24) \ge 0 \\ x^2 + 3x - 24 > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $\log_2(x^2 + 3x - 24) \ge \log_2(1)$ эквивалентно $x^2 + 3x - 24 \ge 1$, так как основание $2>1$. Получаем $x^2 + 3x - 25 \ge 0$. Это условие более сильное, чем второе, поэтому достаточно решить его.

Найдем корни $x^2 + 3x - 25 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-25) = 9 + 100 = 109$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{109}}{2}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{109}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{109}}{2}, \infty)$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\log_2 (x^2 + 3x - 24) = 4$

По определению логарифма:

$x^2 + 3x - 24 = 2^4$

$x^2 + 3x - 24 = 16$

$x^2 + 3x - 40 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -40. Корни: $x_1 = 5, x_2 = -8$.

3. Проверим корни. $\sqrt{109} \approx 10,4$.

$\frac{-3 - \sqrt{109}}{2} \approx \frac{-3 - 10,4}{2} \approx -6,7$.

$\frac{-3 + \sqrt{109}}{2} \approx \frac{-3 + 10,4}{2} \approx 3,7$.

ОДЗ примерно: $(-\infty, -6.7] \cup [3.7, \infty)$.

Корень $x=5$ входит в интервал $[3.7, \infty)$.

Корень $x=-8$ входит в интервал $(-\infty, -6.7]$.

Оба корня подходят.

Ответ: -8; 5

г) $\log_{0,25} \sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} = -0,5$

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} > 0$

Это эквивалентно $x^2 - 6x - 11 > 0$.

Найдем корни $x^2 - 6x - 11 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4(1)(-11) = 36 + 44 = 80$. Корни $x = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 3 - 2\sqrt{5}) \cup (3 + 2\sqrt{5}, \infty)$.

2. Решим уравнение. По определению логарифма:

$\sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} = (0,25)^{-0,5}$

$\sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} = (\frac{1}{4})^{-1/2} = (4^{1/2}) = \sqrt{4} = 2$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x^2 - 6x - 11 = 2^4$

$x^2 - 6x - 11 = 16$

$x^2 - 6x - 27 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение -27. Корни: $x_1 = 9, x_2 = -3$.

3. Проверим корни. $\sqrt{5} \approx 2,24$.

$3 - 2\sqrt{5} \approx 3 - 2(2,24) = 3 - 4,48 = -1,48$.

$3 + 2\sqrt{5} \approx 3 + 4,48 = 7,48$.

ОДЗ примерно: $(-\infty, -1.48) \cup (7.48, \infty)$.

Корень $x=9$ входит в интервал $(7.48, \infty)$.

Корень $x=-3$ входит в интервал $(-\infty, -1.48)$.

Оба корня подходят.

Ответ: -3; 9