Номер 30.9, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.9, страница 190.

30.9. a) $\sqrt{\sin x} = \sqrt{\cos x}$;

Б) $\sqrt{2 - \operatorname{tg} x} = \sqrt{\operatorname{ctg} x}$;

В) $\sqrt{2 - \sqrt{3} \sin 2x} = \sqrt{\cos 2x}$;

Г) $\sqrt{\operatorname{tg} x} = \sqrt{\operatorname{ctg} x}$.

а) $\sqrt{\sin x} = \sqrt{\cos x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых подкоренные выражения неотрицательны: $\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$. Это условие выполняется, когда угол $x$ находится в первой координатной четверти, включая ее границы. Таким образом, ОДЗ можно записать в виде $x \in [2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$ для любого целого числа $n$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней (в рамках ОДЗ): $(\sqrt{\sin x})^2 = (\sqrt{\cos x})^2$ $\sin x = \cos x$

Для решения уравнения $\sin x = \cos x$ заметим, что $\cos x \ne 0$ (иначе $\sin x$ тоже был бы равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$). Поэтому можно разделить обе части на $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x} = 1$ $\tan x = 1$

Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отобрать те решения, которые удовлетворяют ОДЗ ($\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$). Если $k$ — четное число, т.е. $k = 2n$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $x$ находится в первой четверти, где $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$. Эти решения подходят. Если $k$ — нечетное число, т.е. $k = 2n + 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $x$ находится в третьей четверти, где $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. Эти решения не удовлетворяют ОДЗ. Следовательно, подходят только решения с периодом $2\pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

б) $\sqrt{2 - \tan x} = \sqrt{\cot x}$

Найдем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а сами тангенс и котангенс определены: 1. $2 - \tan x \ge 0 \implies \tan x \le 2$ 2. $\cot x \ge 0$ 3. $x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ Из условия $\cot x \ge 0$ следует, что $\tan x > 0$ (поскольку $\cot x = 1/\tan x$, они одного знака, а $\tan x = 0$ недопустимо, так как тогда $\cot x$ не определен). Объединяя условия, получаем ОДЗ в виде $0 < \tan x \le 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $2 - \tan x = \cot x$

Используем тождество $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ и введем замену $t = \tan x$: $2 - t = \frac{1}{t}$ $2t - t^2 = 1$ $t^2 - 2t + 1 = 0$ $(t-1)^2 = 0$ $t = 1$

Вернемся к исходной переменной: $\tan x = 1$. Проверим это значение по ОДЗ: $0 < 1 \le 2$. Условие выполняется, значит, решение не является посторонним.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение $\tan x = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

в) $\sqrt{2 - \sqrt{3} \sin 2x} = \sqrt{\cos 2x}$

ОДЗ определяется условиями: 1. $2 - \sqrt{3} \sin 2x \ge 0 \implies \sin 2x \le \frac{2}{\sqrt{3}}$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $\sin 2x \le 1$, а $1 < \frac{2}{\sqrt{3}}$. 2. $\cos 2x \ge 0$. Таким образом, единственным ограничением является $\cos 2x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $2 - \sqrt{3} \sin 2x = \cos 2x$ $\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2$

Применим метод вспомогательного угла (R-формула). Коэффициент $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$. Разделим уравнение на 2: $\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = 1$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставим эти значения: $\cos(\frac{\pi}{3})\cos 2x + \sin(\frac{\pi}{3})\sin 2x = 1$ По формуле косинуса разности, левая часть сворачивается: $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$

Решение этого уравнения: $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($\cos 2x \ge 0$). Подставим $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ в выражение $\cos 2x$: $\cos(2x) = \cos(\frac{\pi}{3} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \ge 0$, все решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

г) $\sqrt{\tan x} = \sqrt{\cot x}$

ОДЗ: $\tan x \ge 0$ и $\cot x \ge 0$. Также тангенс и котангенс должны быть определены, то есть $x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\cot x = 1/\tan x$, они могут быть неотрицательными только если оба строго положительны ($\tan x > 0, \cot x > 0$), так как если один из них равен нулю, другой не определен. Условие $\tan x > 0$ выполняется в первой и третьей координатных четвертях: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $\tan x = \cot x$

Заменим $\cot x = \frac{1}{\tan x}$: $\tan x = \frac{1}{\tan x}$ $\tan^2 x = 1$ Отсюда $\tan x = 1$ или $\tan x = -1$.

Согласно ОДЗ, нам требуется $\tan x > 0$. Поэтому решение $\tan x = -1$ является посторонним. Остается только $\tan x = 1$.

Решаем уравнение $\tan x = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все корни этой серии удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\tan x = 1 > 0$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.