Номер 30.15, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.15, страница 191.

30.15. a) $\sqrt{\cos x} = \sin x;$

б) $\sqrt{0,5 + \sin x + \cos x} = \cos x;$

в) $\sqrt{\cos 2x} = \sin x;$

г) $\sqrt{\sin x + \sin 3x} = -\cos x.$

а) $\sqrt{\cos x} = \sin x$

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos x = \sin^2 x \end{cases} $

Условие $\cos x \ge 0$ (область определения корня) выполняется автоматически, так как $\cos x = \sin^2 x$, а квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Решим второе уравнение системы, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$\cos x = 1 - \cos^2 x$

$\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + t - 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как он меньше -1.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене:

$\cos x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Теперь учтем условие $\sin x \ge 0$. Так как $\cos x > 0$, угол $x$ может находиться в I или IV четверти. Условию $\sin x \ge 0$ удовлетворяют углы только в I четверти.

Следовательно, из двух серий решений $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n$ мы выбираем ту, что соответствует I четверти.

$x = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{0,5 + \sin x + \cos x} = \cos x$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos x \ge 0 \\ 0,5 + \sin x + \cos x = \cos^2 x \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение:

$0,5 + \sin x + \cos x - \cos^2 x = 0$

Домножим на 2:

$1 + 2\sin x + 2\cos x - 2\cos^2 x = 0$

Используем формулу $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$:

$1 + 2(\sin x + \cos x) - (1 + \cos(2x)) = 0$

$2(\sin x + \cos x) - \cos(2x) = 0$

Используем формулу двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$:

$2(\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки:

$(\sin x + \cos x)(2 - (\cos x - \sin x)) = 0$

$(\sin x + \cos x)(2 - \cos x + \sin x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти решения по условию $\cos x \ge 0$.

Если $k=2n$ (четное), то $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. В этом случае $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Это решение подходит.

Если $k=2n+1$ (нечетное), то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. В этом случае $\cos x = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Это решение не подходит.

Таким образом, из этого случая получаем серию решений $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 - \cos x + \sin x = 0 \implies \cos x - \sin x = 2$.

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) = 2$, откуда $\cos(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Так как $\sqrt{2} > 1$, а область значений косинуса $[-1, 1]$, это уравнение не имеет решений.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{\cos 2x} = \sin x$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos 2x = \sin^2 x \end{cases} $

Условие $\cos 2x \ge 0$ выполняется, так как $\cos 2x = \sin^2 x \ge 0$.

Решим второе уравнение, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$1 - 2\sin^2 x = \sin^2 x$

$3\sin^2 x = 1$

$\sin^2 x = \frac{1}{3}$

$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Согласно первому условию системы, $\sin x \ge 0$, поэтому выбираем только положительное значение:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решения этого уравнения:

$x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (углы в I четверти)

$x = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (углы в II четверти)

Обе серии решений удовлетворяют условию $\sin x \ge 0$. Их можно объединить в одну формулу:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{\sin x + \sin 3x} = -\cos x$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} -\cos x \ge 0 \implies \cos x \le 0 \\ \sin x + \sin 3x = (-\cos x)^2 = \cos^2 x \end{cases} $

Преобразуем левую часть второго уравнения, используя формулу суммы синусов:

$\sin x + \sin 3x = 2\sin\left(\frac{x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x-3x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos(-x) = 2\sin(2x)\cos x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2(2\sin x \cos x)\cos x = 4\sin x \cos^2 x$

Подставим это во второе уравнение системы:

$4\sin x \cos^2 x = \cos^2 x$

$\cos^2 x (4\sin x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$.

Это решение удовлетворяет условию системы $\cos x \le 0$. Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$ подкоренное выражение $\sin x + \sin 3x = 4\sin x \cos^2 x = 0$, что является допустимым. Таким образом, эта серия решений подходит.

2) $4\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4}$.

Мы должны проверить эти решения на соответствие условию $\cos x \le 0$.

Если $\sin x = \frac{1}{4}$, то $x$ может находиться в I или II четверти. Условию $\cos x \le 0$ удовлетворяют только углы во II четверти (в данном случае $\cos x < 0$, т.к. $\cos x = 0$ рассмотрен отдельно).

Решения во II четверти имеют вид $x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.