Номер 30.21, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.21, страница 192.

30.21. a) $(x + 1)(x + 4) - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 6;$

б) $x^2 - 3x + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = \frac{34}{27} - \frac{28x}{9}.$

а) Раскроем скобки в выражении $(x + 1)(x + 4)$:

$(x + 1)(x + 4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$.

Теперь исходное уравнение $(x + 1)(x + 4) - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 6$ можно переписать в виде:

$(x^2 + 5x + 4) - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 6$.

Заметим, что выражение в скобках и выражение под корнем схожи. Это позволяет сделать замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 5x + 2}$. Важно отметить, что по определению арифметического квадратного корня $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 + 5x + 2$.

Тогда выражение $x^2 + 5x + 4$ можно представить как $(x^2 + 5x + 2) + 2 = t^2 + 2$.

Подставим $t$ и $t^2+2$ в уравнение:

$(t^2 + 2) - 3t = 6$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 3t - 4 = 0$.

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-4$, а сумма равна $3$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Так как мы установили, что $t \ge 0$, корень $t = -1$ является посторонним. Таким образом, единственное решение для $t$ — это $t=4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 + 5x + 2 = 16$.

$x^2 + 5x - 14 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно $-14$, а сумма равна $-5$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Проверка области допустимых значений не требуется, так как мы пришли к уравнению $x^2 + 5x + 2 = 16$, где подкоренное выражение заведомо положительно.

Ответ: $2; -7$.

б) Перенесем все члены уравнения $x^2 - 3x + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = \frac{34}{27} - \frac{28x}{9}$ в левую часть:

$x^2 - 3x + \frac{28x}{9} + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} - \frac{34}{27} = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 3x + \frac{28x}{9} - \frac{34}{27}) + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = 0$.

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$x^2 + (\frac{-27+28}{9})x - \frac{34}{27} = x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{34}{27}$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{34}{27} + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = 0$.

Заметим, что свободные члены связаны с подкоренным выражением. Вынесем $\frac{1}{9}$ за скобку в первом слагаемом:

$\frac{1}{9}(9x^2 + x - \frac{34}{3}) + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}}$. По определению корня, $y \ge 0$.

Тогда $y^2 = 9x^2 + x - \frac{4}{3}$.

Выражение $9x^2 + x - \frac{34}{3}$ можно записать как $(9x^2 + x - \frac{4}{3}) - \frac{30}{3} = y^2 - 10$.

Подставим $y$ в уравнение:

$\frac{1}{9}(y^2 - 10) + y = 0$.

Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

$y^2 - 10 + 9y = 0$, или $y^2 + 9y - 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета: произведение корней равно $-10$, а сумма равна $-9$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -10$.

Так как $y \ge 0$, корень $y = -10$ является посторонним. Остается единственное решение $y=1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$9x^2 + x - \frac{4}{3} = 1$.

$9x^2 + x - \frac{7}{3} = 0$.

Умножим обе части на 3:

$27x^2 + 3x - 7 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-7) = 9 + 756 = 765$.

$\sqrt{D} = \sqrt{765} = \sqrt{9 \cdot 85} = 3\sqrt{85}$.

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{85}}{2 \cdot 27} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{85}}{54}$.

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{85}}{18}$.

Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{85}}{18}$.