Номер 30.26, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.26, страница 193.

30.26. а) $ \sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x} = 5; $

б) $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3} = \sqrt[3]{12(x-1)}; $

в) $ \sqrt[3]{x^2-1} + \sqrt[3]{x^2+18} = 5; $

г) $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}. $

а) Решим уравнение $\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x} = 5$.

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x})^3 = 5^3$

$(x+7) + (28-x) + 3\sqrt[3]{(x+7)(28-x)}(\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x}) = 125$

Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x})$ равно 5 по условию исходного уравнения. Подставим это значение:

$35 + 3\sqrt[3]{(x+7)(28-x)} \cdot 5 = 125$

$15\sqrt[3]{(x+7)(28-x)} = 125 - 35$

$15\sqrt[3]{(x+7)(28-x)} = 90$

$\sqrt[3]{(x+7)(28-x)} = 6$

Возведем обе части в куб еще раз:

$(x+7)(28-x) = 6^3$

$(x+7)(28-x) = 216$

$28x - x^2 + 196 - 7x = 216$

$-x^2 + 21x + 196 - 216 = 0$

$-x^2 + 21x - 20 = 0$

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 21x + 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 21, а произведение равно 20. Легко подобрать корни: $x_1=1$ и $x_2=20$.

Проверка:
При $x=1$: $\sqrt[3]{1+7} + \sqrt[3]{28-1} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{27} = 2+3=5$. Верно.
При $x=20$: $\sqrt[3]{20+7} + \sqrt[3]{28-20} = \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{8} = 3+2=5$. Верно.

Ответ: $1; 20$.

б) Решим уравнение $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3} = \sqrt[3]{12(x-1)}$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3})^3 = (\sqrt[3]{12(x-1)})^3$

$x + (2x-3) + 3\sqrt[3]{x(2x-3)}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3}) = 12(x-1)$

Заменим сумму корней в скобках на правую часть исходного уравнения:

$3x-3 + 3\sqrt[3]{x(2x-3)}\sqrt[3]{12(x-1)} = 12(x-1)$

$3(x-1) + 3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 12(x-1)$

Разделим обе части на 3:

$(x-1) + \sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 4(x-1)$

$\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 3(x-1)$

Один из корней уравнения — $x=1$, так как в этом случае обе части уравнения обращаются в ноль.
Проверка: $\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{2(1)-3} = 1 + \sqrt[3]{-1} = 1-1=0$. Правая часть: $\sqrt[3]{12(1-1)} = \sqrt[3]{0} = 0$. Корень $x=1$ подходит.

Предположим, что $x \neq 1$. Тогда можно возвести обе части в куб:

$12x(2x-3)(x-1) = (3(x-1))^3$

$12x(2x-3)(x-1) = 27(x-1)^3$

Так как $x \neq 1$, разделим обе части на $x-1$:

$12x(2x-3) = 27(x-1)^2$

$24x^2 - 36x = 27(x^2 - 2x + 1)$

$24x^2 - 36x = 27x^2 - 54x + 27$

$3x^2 - 18x + 27 = 0$

Разделим на 3:

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

Отсюда $x=3$.

Проверка:
При $x=3$: $\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2(3)-3} = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$. Правая часть: $\sqrt[3]{12(3-1)} = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$. Верно.

Ответ: $1; 3$.

в) Решим уравнение $\sqrt[3]{x^2-1} + \sqrt[3]{x^2+18} = 5$.

Сделаем замену $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$\sqrt[3]{y-1} + \sqrt[3]{y+18} = 5$

Рассмотрим функцию $f(y) = \sqrt[3]{y-1} + \sqrt[3]{y+18}$. Её производная:

$f'(y) = \frac{1}{3(y-1)^{2/3}} + \frac{1}{3(y+18)^{2/3}}$

Поскольку $(y-1)^{2/3} \ge 0$ и $(y+18)^{2/3} \ge 0$, производная $f'(y) > 0$ для всех $y$ из области определения. Это означает, что функция $f(y)$ является строго возрастающей. Следовательно, уравнение $f(y)=5$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором. Пусть $\sqrt[3]{y-1}=a$ и $\sqrt[3]{y+18}=b$. Тогда $a+b=5$. Если предположить, что $a$ и $b$ — целые числа, то возможные пары $(a, b)$ это $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$.

Проверим пару $(a, b) = (2, 3)$:

$\sqrt[3]{y-1} = 2 \Rightarrow y-1 = 2^3 = 8 \Rightarrow y=9$

$\sqrt[3]{y+18} = 3 \Rightarrow y+18 = 3^3 = 27 \Rightarrow y=9$

Значение $y=9$ удовлетворяет обоим условиям. Так как корень единственный, то $y=9$ — это решение уравнения для $y$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$x^2 = y = 9$

$x_1 = 3, x_2 = -3$

Ответ: $-3; 3$.

г) Решим уравнение $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$.

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} - \sqrt[3]{x-8} = 0$.

Воспользуемся тождеством: если $a+b+c=0$, то $a^3+b^3+c^3=3abc$.
Пусть $a=\sqrt[3]{x}$, $b=\sqrt[3]{x-16}$, $c=-\sqrt[3]{x-8}=\sqrt[3]{8-x}$.
Уравнение имеет вид $a+b+c=0$. Следовательно, оно равносильно уравнению $a^3+b^3+c^3=3abc$ (поскольку второй множитель в разложении $a^3+b^3+c^3-3abc$ не равен нулю при $a \neq b$).

$(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{x-16})^3 + (\sqrt[3]{8-x})^3 = 3\sqrt[3]{x(x-16)(8-x)}$

$x + (x-16) + (8-x) = 3\sqrt[3]{-x(x-16)(x-8)}$

$x - 8 = -3\sqrt[3]{x(x-16)(x-8)}$

Возведем обе части в куб:

$(x-8)^3 = (-3)^3 \cdot x(x-16)(x-8)$

$(x-8)^3 = -27x(x-16)(x-8)$

$(x-8)^3 + 27x(x-16)(x-8) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-8)$:

$(x-8)[(x-8)^2 + 27x(x-16)] = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $x-8 = 0 \Rightarrow x_1=8$.

2) $(x-8)^2 + 27x(x-16) = 0$

$x^2 - 16x + 64 + 27x^2 - 432x = 0$

$28x^2 - 448x + 64 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$7x^2 - 112x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$D = (-112)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 16 = 12544 - 448 = 12096 = 576 \cdot 21$

$\sqrt{D} = \sqrt{576 \cdot 21} = 24\sqrt{21}$

$x = \frac{112 \pm 24\sqrt{21}}{2 \cdot 7} = \frac{112 \pm 24\sqrt{21}}{14} = \frac{56 \pm 12\sqrt{21}}{7}$

Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{56 + 12\sqrt{21}}{7}$ и $x_3 = \frac{56 - 12\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $8; \frac{56 \pm 12\sqrt{21}}{7}$.