Номер 30.32, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.32, страница 194.

30.32. a) $\sqrt{2 - x} + \sqrt[3]{-10 - x} = 0;$

б) $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[3]{x + 7} = 3.$

а) $\sqrt{2 - x} + \sqrt[3]{-10 - x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Для кубического корня ограничений нет. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 2]$.

Перенесем один из членов уравнения в правую часть: $\sqrt{2 - x} = -\sqrt[3]{-10 - x}$

Используем свойство нечетного корня $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для $n$ - нечетного: $\sqrt{2 - x} = \sqrt[3]{-(-10 - x)}$ $\sqrt{2 - x} = \sqrt[3]{10 + x}$

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в шестую степень (наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3): $(\sqrt{2 - x})^6 = (\sqrt[3]{10 + x})^6$ $((2 - x)^{1/2})^6 = ((10 + x)^{1/3})^6$ $(2 - x)^3 = (10 + x)^2$

Раскроем скобки, используя формулы куба разности и квадрата суммы: $2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 - x^3 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot x + x^2$ $8 - 12x + 6x^2 - x^3 = 100 + 20x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в одну сторону: $x^3 + x^2 - 6x^2 + 20x + 12x + 100 - 8 = 0$ $x^3 - 5x^2 + 32x + 92 = 0$

Найдем целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена 92. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4, \ldots$. Проверим $x = -2$: $(-2)^3 - 5(-2)^2 + 32(-2) + 92 = -8 - 5(4) - 64 + 92 = -8 - 20 - 64 + 92 = -92 + 92 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем уравнения. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ -2 \le 2$).

Разделим многочлен $x^3 - 5x^2 + 32x + 92$ на $(x + 2)$, чтобы найти остальные корни: $(x + 2)(x^2 - 7x + 46) = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - 7x + 46 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 46 = 49 - 184 = -135$. Так как $D < 0$, действительных корней у квадратного уравнения нет.

Следовательно, единственным решением исходного уравнения является $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

б) $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[3]{x + 7} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$. ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{2x - 1}$ и $b = \sqrt[3]{x + 7}$. Так как $x \ge \frac{1}{2}$, то $a = \sqrt{2x-1} \ge 0$. Исходное уравнение примет вид: $a + b = 3$.

Выразим $x$ через каждую из новых переменных: $a^2 = 2x - 1 \implies 2x = a^2 + 1 \implies x = \frac{a^2 + 1}{2}$ $b^3 = x + 7 \implies x = b^3 - 7$

Приравняем выражения для $x$: $\frac{a^2 + 1}{2} = b^3 - 7$ $a^2 + 1 = 2b^3 - 14$ $a^2 = 2b^3 - 15$

Получим систему уравнений: $\begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 = 2b^3 - 15 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a = 3 - b$ и подставим во второе: $(3 - b)^2 = 2b^3 - 15$ $9 - 6b + b^2 = 2b^3 - 15$ $2b^3 - b^2 + 6b - 24 = 0$

Найдем целые корни этого уравнения среди делителей свободного члена -24. Проверим $b = 2$: $2(2)^3 - (2)^2 + 6(2) - 24 = 2 \cdot 8 - 4 + 12 - 24 = 16 - 4 + 12 - 24 = 0$. Значит, $b=2$ является корнем.

Разделим многочлен $2b^3 - b^2 + 6b - 24$ на $(b - 2)$: $(b - 2)(2b^2 + 3b + 12) = 0$

Решим квадратное уравнение $2b^2 + 3b + 12 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 9 - 96 = -87$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Единственное действительное решение для $b$ это $b = 2$. Вернемся к переменной $x$, используя замену $b = \sqrt[3]{x + 7}$: $2 = \sqrt[3]{x + 7}$ $2^3 = x + 7$ $8 = x + 7$ $x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $1 \ge \frac{1}{2}$. Удовлетворяет. Сделаем проверку, подставив корень в исходное уравнение: $\sqrt{2(1) - 1} + \sqrt[3]{1 + 7} = \sqrt{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3$. Верно.
Ответ: $x = 1$.