Номер 30.28, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.28, страница 193.

30.28. a) $\sqrt{x} + \sqrt{x+5} = 9 - x;$

б) $3\sqrt{x+2} + 5\sqrt{3x+10} = 30 - 2x.$

a) Решим уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{x+5} = 9 - x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Также правая часть уравнения, равная сумме двух неотрицательных слагаемых в левой части, должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -5 \\ x \le 9 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ для $x$ — это промежуток $[0, 9]$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+5}$ и $g(x) = 9-x$.

Функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций ($\sqrt{x}$ и $\sqrt{x+5}$), поэтому она строго возрастает на всей своей области определения. Функция $g(x)$ является линейной убывающей функцией. Уравнение вида $f(x)=g(x)$, где одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые значения из ОДЗ.

Подставим $x=4$:

Левая часть: $\sqrt{4} + \sqrt{4+5} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.

Правая часть: $9 - 4 = 5$.

Поскольку $5=5$, значение $x=4$ является корнем уравнения. Так как мы установили, что корень может быть только один, это и есть единственное решение.

Ответ: 4

---

б) Решим уравнение $3\sqrt{x+2} + 5\sqrt{3x+10} = 30 - 2x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из тех же соображений, что и в предыдущем пункте:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3x+10 \ge 0 \\ 30-2x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ 3x \ge -10 \\ 2x \le 30 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -10/3 \\ x \le 15 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-2, 15]$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3\sqrt{x+2} + 5\sqrt{3x+10}$ (левая часть) и $g(x) = 30 - 2x$ (правая часть).

Функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций, следовательно, она строго возрастает на своей области определения. Функция $g(x)$ — линейная убывающая. Таким образом, данное уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора, проверяя целые значения из ОДЗ. Удобно искать такие $x$, при которых подкоренные выражения являются полными квадратами.

Проверим $x=2$:

Левая часть: $3\sqrt{2+2} + 5\sqrt{3(2)+10} = 3\sqrt{4} + 5\sqrt{6+10} = 3 \cdot 2 + 5\sqrt{16} = 6 + 5 \cdot 4 = 6 + 20 = 26$.

Правая часть: $30 - 2(2) = 30 - 4 = 26$.

Левая и правая части равны, значит $x=2$ — корень уравнения. Поскольку решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: 2