Номер 30.30, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.30, страница 194.

Решите уравнение:

30.30. a) $\sqrt{x^3 + x^2 - 1} + \sqrt{x^3 + x^2 + 2} = 3;$

б) $\sqrt{x^3 - 4x^2 + x + 15} + \sqrt{x^3 - 4x^2 - x + 13} = x + 1.$

а) $\sqrt{x^3 + x^2 - 1} + \sqrt{x^3 + x^2 + 2} = 3$

Заметим, что в обоих подкоренных выражениях присутствует одинаковая часть $x^3 + x^2$. Сделаем замену: пусть $y = x^3 + x^2$. Тогда уравнение примет вид:

$\sqrt{y - 1} + \sqrt{y + 2} = 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$ определяется условиями $y - 1 \ge 0$ и $y + 2 \ge 0$, откуда получаем $y \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{y - 1} + \sqrt{y + 2})^2 = 3^2$

$(y - 1) + 2\sqrt{(y - 1)(y + 2)} + (y + 2) = 9$

$2y + 1 + 2\sqrt{y^2 + y - 2} = 9$

Уединим оставшийся радикал:

$2\sqrt{y^2 + y - 2} = 8 - 2y$

$\sqrt{y^2 + y - 2} = 4 - y$

Для существования решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $4 - y \ge 0$, то есть $y \le 4$. С учетом ОДЗ, получаем общее ограничение для $y$: $1 \le y \le 4$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$y^2 + y - 2 = (4 - y)^2$

$y^2 + y - 2 = 16 - 8y + y^2$

$y + 8y = 16 + 2$

$9y = 18$

$y = 2$

Найденное значение $y=2$ удовлетворяет условию $1 \le y \le 4$.

Выполним обратную замену:

$x^3 + x^2 = 2$

$x^3 + x^2 - 2 = 0$

Подбором находим целый корень $x=1$, так как $1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Разделив многочлен $x^3 + x^2 - 2$ на двучлен $(x-1)$, получим:

$(x-1)(x^2 + 2x + 2) = 0$

Это равенство выполняется, если $x-1=0$ или $x^2 + 2x + 2 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x=1$.

Для второго уравнения $x^2 + 2x + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным решением является $x=1$.

Ответ: $1$

б) $\sqrt{x^3 - 4x^2 + x + 15} + \sqrt{x^3 - 4x^2 - x + 13} = x + 1$

Поскольку левая часть уравнения (сумма арифметических корней) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Это часть ОДЗ.

Введем переменные: пусть $a = \sqrt{x^3 - 4x^2 + x + 15}$ и $b = \sqrt{x^3 - 4x^2 - x + 13}$. Уравнение принимает вид $a+b = x+1$.

Рассмотрим разность квадратов $a^2$ и $b^2$:

$a^2 - b^2 = (x^3 - 4x^2 + x + 15) - (x^3 - 4x^2 - x + 13) = 2x + 2 = 2(x+1)$

С другой стороны, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Подставив известные выражения, получим:

$(a-b)(x+1) = 2(x+1)$

$(a-b-2)(x+1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1. $x+1 = 0 \Rightarrow x=-1$. Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 15} + \sqrt{(-1)^3 - 4(-1)^2 - (-1) + 13} = \sqrt{-1 - 4 - 1 + 15} + \sqrt{-1 - 4 + 1 + 13} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 3+3 = 6$.

Правая часть: $x+1 = -1+1=0$. Так как $6 \ne 0$, $x=-1$ не является корнем.

2. $a-b-2 = 0 \Rightarrow a-b = 2$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a+b = x+1 \\ a-b = 2 \end{cases}$

Сложив уравнения, имеем $2a = x+3$, откуда $a = \frac{x+3}{2}$.

Вычтя второе уравнение из первого, имеем $2b = x-1$, откуда $b = \frac{x-1}{2}$.

Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, должны выполняться условия $\frac{x+3}{2} \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$ и $\frac{x-1}{2} \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. С учетом ранее полученного условия $x \ge -1$, итоговое ограничение для $x$ есть $x \ge 1$.

Вернемся к замене для $a$:

$\sqrt{x^3 - 4x^2 + x + 15} = \frac{x+3}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x^3 - 4x^2 + x + 15 = \frac{(x+3)^2}{4}$

$4(x^3 - 4x^2 + x + 15) = x^2 + 6x + 9$

$4x^3 - 16x^2 + 4x + 60 = x^2 + 6x + 9$

$4x^3 - 17x^2 - 2x + 51 = 0$

Проверкой делителей свободного члена 51 находим корень $x=3$: $4(27) - 17(9) - 2(3) + 51 = 108 - 153 - 6 + 51 = 0$.

Разделив многочлен $4x^3 - 17x^2 - 2x + 51$ на $(x-3)$, получаем:

$(x-3)(4x^2 - 5x - 17) = 0$

Решим квадратное уравнение $4x^2 - 5x - 17 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4(4)(-17) = 25 + 272 = 297$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{297}}{8} = \frac{5 \pm 3\sqrt{33}}{8}$

Мы получили три потенциальных корня: $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{5 + 3\sqrt{33}}{8}$, $x_3 = \frac{5 - 3\sqrt{33}}{8}$.

Проверим их на соответствие условию $x \ge 1$.

- $x_1=3$: удовлетворяет условию, так как $3 \ge 1$.

- $x_2 = \frac{5 + 3\sqrt{33}}{8}$: так как $\sqrt{33} > \sqrt{25}=5$, то $3\sqrt{33}>15$, и $x_2 > \frac{5+15}{8} = 2.5$. Корень удовлетворяет условию $x \ge 1$.

- $x_3 = \frac{5 - 3\sqrt{33}}{8}$: так как $3\sqrt{33}>15$, числитель $5 - 3\sqrt{33} < 5-15 = -10$, значит $x_3 < 0$. Корень не удовлетворяет условию $x \ge 1$ и является посторонним.

Ответ: $3; \frac{5 + 3\sqrt{33}}{8}$