Страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

30.30. a) $\sqrt{x^3 + x^2 - 1} + \sqrt{x^3 + x^2 + 2} = 3;$

б) $\sqrt{x^3 - 4x^2 + x + 15} + \sqrt{x^3 - 4x^2 - x + 13} = x + 1.$

а) $\sqrt{x^3 + x^2 - 1} + \sqrt{x^3 + x^2 + 2} = 3$

Заметим, что в обоих подкоренных выражениях присутствует одинаковая часть $x^3 + x^2$. Сделаем замену: пусть $y = x^3 + x^2$. Тогда уравнение примет вид:

$\sqrt{y - 1} + \sqrt{y + 2} = 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$ определяется условиями $y - 1 \ge 0$ и $y + 2 \ge 0$, откуда получаем $y \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{y - 1} + \sqrt{y + 2})^2 = 3^2$

$(y - 1) + 2\sqrt{(y - 1)(y + 2)} + (y + 2) = 9$

$2y + 1 + 2\sqrt{y^2 + y - 2} = 9$

Уединим оставшийся радикал:

$2\sqrt{y^2 + y - 2} = 8 - 2y$

$\sqrt{y^2 + y - 2} = 4 - y$

Для существования решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $4 - y \ge 0$, то есть $y \le 4$. С учетом ОДЗ, получаем общее ограничение для $y$: $1 \le y \le 4$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$y^2 + y - 2 = (4 - y)^2$

$y^2 + y - 2 = 16 - 8y + y^2$

$y + 8y = 16 + 2$

$9y = 18$

$y = 2$

Найденное значение $y=2$ удовлетворяет условию $1 \le y \le 4$.

Выполним обратную замену:

$x^3 + x^2 = 2$

$x^3 + x^2 - 2 = 0$

Подбором находим целый корень $x=1$, так как $1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Разделив многочлен $x^3 + x^2 - 2$ на двучлен $(x-1)$, получим:

$(x-1)(x^2 + 2x + 2) = 0$

Это равенство выполняется, если $x-1=0$ или $x^2 + 2x + 2 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x=1$.

Для второго уравнения $x^2 + 2x + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным решением является $x=1$.

Ответ: $1$

б) $\sqrt{x^3 - 4x^2 + x + 15} + \sqrt{x^3 - 4x^2 - x + 13} = x + 1$

Поскольку левая часть уравнения (сумма арифметических корней) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Это часть ОДЗ.

Введем переменные: пусть $a = \sqrt{x^3 - 4x^2 + x + 15}$ и $b = \sqrt{x^3 - 4x^2 - x + 13}$. Уравнение принимает вид $a+b = x+1$.

Рассмотрим разность квадратов $a^2$ и $b^2$:

$a^2 - b^2 = (x^3 - 4x^2 + x + 15) - (x^3 - 4x^2 - x + 13) = 2x + 2 = 2(x+1)$

С другой стороны, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Подставив известные выражения, получим:

$(a-b)(x+1) = 2(x+1)$

$(a-b-2)(x+1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1. $x+1 = 0 \Rightarrow x=-1$. Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 15} + \sqrt{(-1)^3 - 4(-1)^2 - (-1) + 13} = \sqrt{-1 - 4 - 1 + 15} + \sqrt{-1 - 4 + 1 + 13} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 3+3 = 6$.

Правая часть: $x+1 = -1+1=0$. Так как $6 \ne 0$, $x=-1$ не является корнем.

2. $a-b-2 = 0 \Rightarrow a-b = 2$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a+b = x+1 \\ a-b = 2 \end{cases}$

Сложив уравнения, имеем $2a = x+3$, откуда $a = \frac{x+3}{2}$.

Вычтя второе уравнение из первого, имеем $2b = x-1$, откуда $b = \frac{x-1}{2}$.

Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, должны выполняться условия $\frac{x+3}{2} \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$ и $\frac{x-1}{2} \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. С учетом ранее полученного условия $x \ge -1$, итоговое ограничение для $x$ есть $x \ge 1$.

Вернемся к замене для $a$:

$\sqrt{x^3 - 4x^2 + x + 15} = \frac{x+3}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x^3 - 4x^2 + x + 15 = \frac{(x+3)^2}{4}$

$4(x^3 - 4x^2 + x + 15) = x^2 + 6x + 9$

$4x^3 - 16x^2 + 4x + 60 = x^2 + 6x + 9$

$4x^3 - 17x^2 - 2x + 51 = 0$

Проверкой делителей свободного члена 51 находим корень $x=3$: $4(27) - 17(9) - 2(3) + 51 = 108 - 153 - 6 + 51 = 0$.

Разделив многочлен $4x^3 - 17x^2 - 2x + 51$ на $(x-3)$, получаем:

$(x-3)(4x^2 - 5x - 17) = 0$

Решим квадратное уравнение $4x^2 - 5x - 17 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4(4)(-17) = 25 + 272 = 297$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{297}}{8} = \frac{5 \pm 3\sqrt{33}}{8}$

Мы получили три потенциальных корня: $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{5 + 3\sqrt{33}}{8}$, $x_3 = \frac{5 - 3\sqrt{33}}{8}$.

Проверим их на соответствие условию $x \ge 1$.

- $x_1=3$: удовлетворяет условию, так как $3 \ge 1$.

- $x_2 = \frac{5 + 3\sqrt{33}}{8}$: так как $\sqrt{33} > \sqrt{25}=5$, то $3\sqrt{33}>15$, и $x_2 > \frac{5+15}{8} = 2.5$. Корень удовлетворяет условию $x \ge 1$.

- $x_3 = \frac{5 - 3\sqrt{33}}{8}$: так как $3\sqrt{33}>15$, числитель $5 - 3\sqrt{33} < 5-15 = -10$, значит $x_3 < 0$. Корень не удовлетворяет условию $x \ge 1$ и является посторонним.

Ответ: $3; \frac{5 + 3\sqrt{33}}{8}$

30.31. a) $4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=x;$

б) $x + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x^2+2x} = 3.$

Решим уравнение $4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1) = x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$1+x \ge 0 \implies x \ge -1$

$1-x \ge 0 \implies x \le 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения. Подставим $x=0$ в левую часть:

$4(\sqrt{1+0}-1)(\sqrt{1-0}+1) = 4(1-1)(1+1) = 4 \cdot 0 \cdot 2 = 0$.

Правая часть равна $x=0$. Так как $0=0$, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь рассмотрим случай, когда $x \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x$.

$\frac{4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)}{x} = 1$

Умножим и разделим выражение $(\sqrt{1+x}-1)$ на сопряженное ему $(\sqrt{1+x}+1)$:

$\sqrt{1+x}-1 = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{(1+x)-1^2}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{x}{\sqrt{1+x}+1}$

Подставим это в наше уравнение:

$\frac{4 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x}+1} \cdot (\sqrt{1-x}+1)}{x} = 1$

Сократив на $x$ (так как $x \ne 0$), получим:

$\frac{4(\sqrt{1-x}+1)}{\sqrt{1+x}+1} = 1$

$4(\sqrt{1-x}+1) = \sqrt{1+x}+1$

$4\sqrt{1-x}+4 = \sqrt{1+x}+1$

$4\sqrt{1-x}+3 = \sqrt{1+x}$

Обе части этого уравнения неотрицательны в ОДЗ, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(4\sqrt{1-x}+3)^2 = (\sqrt{1+x})^2$

$16(1-x) + 2 \cdot 4\sqrt{1-x} \cdot 3 + 9 = 1+x$

$16 - 16x + 24\sqrt{1-x} + 9 = 1+x$

$25 - 16x + 24\sqrt{1-x} = 1+x$

Выразим член с корнем:

$24\sqrt{1-x} = 1+x - (25-16x)$

$24\sqrt{1-x} = 17x-24$

Рассмотрим знаки левой и правой частей этого уравнения в пределах ОДЗ $x \in [-1, 1]$.

Левая часть: $24\sqrt{1-x} \ge 0$ для всех $x \le 1$.

Правая часть: $f(x) = 17x-24$. Это линейная возрастающая функция. Найдем ее значения на концах отрезка $[-1, 1]$:

$f(1) = 17(1) - 24 = -7$

$f(-1) = 17(-1) - 24 = -41$

Следовательно, для любого $x \in [-1, 1]$, правая часть $17x-24$ является отрицательной. Равенство неотрицательного числа и отрицательного числа невозможно. Единственный случай, когда равенство возможно, это если обе части равны нулю. Левая часть равна нулю при $x=1$. Но при $x=1$ правая часть равна $-7$. Таким образом, уравнение $24\sqrt{1-x} = 17x-24$ не имеет решений на отрезке $[-1, 1]$.

Это означает, что других решений, кроме $x=0$, нет.

Ответ: $0$.

Решим уравнение $x + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x^2+2x} = 3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. $x \ge 0$

2. $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

3. $x^2+2x = x(x+2) \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$ или $x \le -2$.

Пересечение всех этих условий дает ОДЗ: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, мы можем переписать радикал $\sqrt{x^2+2x}$ как $\sqrt{x}\sqrt{x+2}$.

Уравнение принимает вид:

$x + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x}\sqrt{x+2} = 3$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выполнить факторизацию. Перепишем $x$ как $(\sqrt{x})^2$:

$(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x}\sqrt{x+2} = 3$

$(\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)) + (\sqrt{x+2}(1+\sqrt{x})) = 3$

Вынесем общий множитель $(\sqrt{x}+1)$:

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x} + \sqrt{x+2}) = 3$

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x} + \sqrt{x+2})$.

В области определения $x \ge 0$, функции $\sqrt{x}$, $\sqrt{x}+1$ и $\sqrt{x+2}$ являются положительными и возрастающими. Сумма возрастающих функций $(\sqrt{x} + \sqrt{x+2})$ также является возрастающей функцией. Произведение двух положительных возрастающих функций $(\sqrt{x}+1)$ и $(\sqrt{x} + \sqrt{x+2})$ также является строго возрастающей функцией.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает на своей области определения, уравнение $f(x) = 3$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти этот корень подбором, проверяя значения $x$, которые упрощают выражения под корнем.

Пусть $x = \frac{1}{4}$. Тогда $\sqrt{x} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ и $\sqrt{x+2} = \sqrt{\frac{1}{4}+2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Подставим эти значения в левую часть преобразованного уравнения:

$(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})(\frac{4}{2}) = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Левая часть равна правой. Значит, $x = \frac{1}{4}$ является корнем уравнения.

Так как мы установили, что решение единственное, то $x = \frac{1}{4}$ и есть искомое решение.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

30.32. a) $\sqrt{2 - x} + \sqrt[3]{-10 - x} = 0;$

б) $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[3]{x + 7} = 3.$

а) $\sqrt{2 - x} + \sqrt[3]{-10 - x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Для кубического корня ограничений нет. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 2]$.

Перенесем один из членов уравнения в правую часть: $\sqrt{2 - x} = -\sqrt[3]{-10 - x}$

Используем свойство нечетного корня $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для $n$ - нечетного: $\sqrt{2 - x} = \sqrt[3]{-(-10 - x)}$ $\sqrt{2 - x} = \sqrt[3]{10 + x}$

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в шестую степень (наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3): $(\sqrt{2 - x})^6 = (\sqrt[3]{10 + x})^6$ $((2 - x)^{1/2})^6 = ((10 + x)^{1/3})^6$ $(2 - x)^3 = (10 + x)^2$

Раскроем скобки, используя формулы куба разности и квадрата суммы: $2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 - x^3 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot x + x^2$ $8 - 12x + 6x^2 - x^3 = 100 + 20x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в одну сторону: $x^3 + x^2 - 6x^2 + 20x + 12x + 100 - 8 = 0$ $x^3 - 5x^2 + 32x + 92 = 0$

Найдем целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена 92. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4, \ldots$. Проверим $x = -2$: $(-2)^3 - 5(-2)^2 + 32(-2) + 92 = -8 - 5(4) - 64 + 92 = -8 - 20 - 64 + 92 = -92 + 92 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем уравнения. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ -2 \le 2$).

Разделим многочлен $x^3 - 5x^2 + 32x + 92$ на $(x + 2)$, чтобы найти остальные корни: $(x + 2)(x^2 - 7x + 46) = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - 7x + 46 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 46 = 49 - 184 = -135$. Так как $D < 0$, действительных корней у квадратного уравнения нет.

Следовательно, единственным решением исходного уравнения является $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

б) $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[3]{x + 7} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$. ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{2x - 1}$ и $b = \sqrt[3]{x + 7}$. Так как $x \ge \frac{1}{2}$, то $a = \sqrt{2x-1} \ge 0$. Исходное уравнение примет вид: $a + b = 3$.

Выразим $x$ через каждую из новых переменных: $a^2 = 2x - 1 \implies 2x = a^2 + 1 \implies x = \frac{a^2 + 1}{2}$ $b^3 = x + 7 \implies x = b^3 - 7$

Приравняем выражения для $x$: $\frac{a^2 + 1}{2} = b^3 - 7$ $a^2 + 1 = 2b^3 - 14$ $a^2 = 2b^3 - 15$

Получим систему уравнений: $\begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 = 2b^3 - 15 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a = 3 - b$ и подставим во второе: $(3 - b)^2 = 2b^3 - 15$ $9 - 6b + b^2 = 2b^3 - 15$ $2b^3 - b^2 + 6b - 24 = 0$

Найдем целые корни этого уравнения среди делителей свободного члена -24. Проверим $b = 2$: $2(2)^3 - (2)^2 + 6(2) - 24 = 2 \cdot 8 - 4 + 12 - 24 = 16 - 4 + 12 - 24 = 0$. Значит, $b=2$ является корнем.

Разделим многочлен $2b^3 - b^2 + 6b - 24$ на $(b - 2)$: $(b - 2)(2b^2 + 3b + 12) = 0$

Решим квадратное уравнение $2b^2 + 3b + 12 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 9 - 96 = -87$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Единственное действительное решение для $b$ это $b = 2$. Вернемся к переменной $x$, используя замену $b = \sqrt[3]{x + 7}$: $2 = \sqrt[3]{x + 7}$ $2^3 = x + 7$ $8 = x + 7$ $x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $1 \ge \frac{1}{2}$. Удовлетворяет. Сделаем проверку, подставив корень в исходное уравнение: $\sqrt{2(1) - 1} + \sqrt[3]{1 + 7} = \sqrt{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3$. Верно.
Ответ: $x = 1$.

30.33. a) $\sqrt{x} < 7;$

б) $\sqrt[6]{x+1} \geq -1;$

в) $\sqrt{6-x} \leq 8;$

г) $\sqrt[7]{x+1} \geq -2.$

а)

Дано неравенство $ \sqrt{x} < 7 $.

Поскольку подкоренное выражение корня четной степени (квадратного корня) должно быть неотрицательным, найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ x \ge 0 $.

Обе части исходного неравенства $ \sqrt{x} < 7 $ неотрицательны. Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{x})^2 < 7^2 $

$ x < 49 $

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ. Решением является пересечение множеств $ x \ge 0 $ и $ x < 49 $, что можно записать в виде двойного неравенства:

$ 0 \le x < 49 $.

Это соответствует промежутку $ [0; 49) $.

Ответ: $ x \in [0; 49) $

б)

Дано неравенство $ \sqrt[6]{x+1} \ge -1 $.

Корень шестой степени является корнем четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем ОДЗ:

$ x+1 \ge 0 $

$ x \ge -1 $

По определению, арифметический корень четной степени всегда является неотрицательным числом. То есть, $ \sqrt[6]{x+1} \ge 0 $ для всех $x$ из ОДЗ.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше или равно любому отрицательному числу (в данном случае -1), неравенство $ \sqrt[6]{x+1} \ge -1 $ выполняется для всех значений $x$, при которых выражение $ \sqrt[6]{x+1} $ определено.

Следовательно, решением неравенства является его область допустимых значений.

Ответ: $ x \in [-1; +\infty) $

в)

Дано неравенство $ \sqrt{6-x} \le 8 $.

Это корень четной степени, поэтому найдем ОДЗ:

$ 6-x \ge 0 $

$ 6 \ge x $ или $ x \le 6 $.

Левая часть неравенства $ \sqrt{6-x} $ по определению неотрицательна, и правая часть (8) также положительна. Мы можем возвести обе части неравенства в квадрат:

$ (\sqrt{6-x})^2 \le 8^2 $

$ 6-x \le 64 $

$ -x \le 64 - 6 $

$ -x \le 58 $

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ x \ge -58 $

Объединим полученное решение с ОДЗ: $ x \le 6 $ и $ x \ge -58 $. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$ -58 \le x \le 6 $.

Ответ: $ x \in [-58; 6] $

г)

Дано неравенство $ \sqrt[7]{x+1} \ge -2 $.

Корень седьмой степени является корнем нечетной степени. Область определения корня нечетной степени — все действительные числа. Поэтому ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Для решения неравенств с корнями нечетной степени можно возводить обе части в степень, равную показателю корня, при этом знак неравенства сохраняется:

$ (\sqrt[7]{x+1})^7 \ge (-2)^7 $

$ x+1 \ge -128 $

$ x \ge -128 - 1 $

$ x \ge -129 $

Так как ОДЗ не накладывает ограничений, это и есть окончательное решение.

Ответ: $ x \in [-129; +\infty) $

30.34. a) $\sqrt{x^2 - 4x - 3} < 3;$

б) $\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1} \ge 1;$

в) $\sqrt{36 - x - 12x^2} > 5;$

г) $\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3} \le 1.$

а) Данное неравенство $\sqrt{x^2 - 4x - 3} < 3$ равносильно системе неравенств, так как корень четной степени должен быть определен, а обе части неравенства неотрицательны (так как $\sqrt{...} \ge 0$ и $3 > 0$):

$\begin{cases} x^2 - 4x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 4x - 3 < 3^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 3 \ge 0$.Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 3 = 0$.Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x - 3$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{7}] \cup [2 + \sqrt{7}; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x - 3 < 9$.$x^2 - 4x - 12 < 0$.Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.По теореме Виета, корни $x_3 = -2$ и $x_4 = 6$.Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-2; 6)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:$x \in \left( (-\infty; 2 - \sqrt{7}] \cup [2 + \sqrt{7}; +\infty) \right) \cap (-2; 6)$.Оценим значения корней: $2 < \sqrt{7} < 3$, поэтому $2 - \sqrt{7} \approx 2 - 2.65 = -0.65$ и $2 + \sqrt{7} \approx 2 + 2.65 = 4.65$.Пересечение интервалов дает нам два промежутка: от $-2$ до $2-\sqrt{7}$ (включая) и от $2+\sqrt{7}$ (включая) до $6$.Ответ: $x \in (-2; 2 - \sqrt{7}] \cup [2 + \sqrt{7}; 6)$.

б) В неравенстве $\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1} \ge 1$ корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в шестую степень, сохранив знак неравенства.

$x^3 - 2x^2 + 1 \ge 1^6$

$x^3 - 2x^2 \ge 0$

Это неравенство сильнее, чем требование ОДЗ ($x^3 - 2x^2 + 1 \ge 0$), поэтому достаточно решить только его.Вынесем общий множитель за скобки:$x^2(x - 2) \ge 0$.

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$).Рассмотрим два случая:1. Если $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$, то для выполнения неравенства требуется, чтобы $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.2. Если $x^2 = 0$, то есть $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot (0 - 2) \ge 0$, или $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=0$ является решением.

Объединяя оба случая, получаем решение.Ответ: $x \in \{0\} \cup [2; +\infty)$.

в) В неравенстве $\sqrt{36 - x - 12x^2} > 5$ корень четной степени. Так как правая часть (число 5) положительна, мы можем возвести обе части в квадрат. При этом условие неотрицательности подкоренного выражения ($36 - x - 12x^2 \ge 0$) будет выполнено автоматически, так как оно будет больше, чем $5^2=25$.

$36 - x - 12x^2 > 5^2$

$36 - x - 12x^2 > 25$

$-12x^2 - x + 11 > 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:$12x^2 + x - 11 < 0$.

Найдем корни уравнения $12x^2 + x - 11 = 0$.Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-11) = 1 + 528 = 529 = 23^2$.Корни: $x_1 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 12} = \frac{-24}{24} = -1$, $x_2 = \frac{-1 + 23}{24} = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}$.

Ветви параболы $y = 12x^2 + x - 11$ направлены вверх, поэтому неравенство $12x^2 + x - 11 < 0$ выполняется между корнями.Ответ: $x \in (-1; \frac{11}{12})$.

г) В неравенстве $\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3} \le 1$ корень нечетной степени (седьмой), поэтому область допустимых значений $x$ — все действительные числа. Мы можем без дополнительных условий возвести обе части неравенства в седьмую степень.

$(\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3})^7 \le 1^7$

$1 - x^2 - x^3 \le 1$

$-x^2 - x^3 \le 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:$x^3 + x^2 \ge 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:$x^2(x + 1) \ge 0$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любых $x$, неравенство сводится к двум случаям:1. $x=0$, тогда $0 \ge 0$ — верно.2. $x \ne 0$, тогда $x^2 > 0$, и можно разделить на $x^2$, получив $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

Объединяя решение $x \ge -1$ (которое включает $x \ne 0$) и $x=0$, получаем итоговый промежуток.Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

30.35. a) $\sqrt{x+3} \cdot \sqrt{4x+5} < 6;$

В) $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{2x+3} \ge 3;$

б) $\sqrt{(x+3)(4x+5)} < 6;$

Г) $\sqrt{(x-2)(2x+3)} \ge 3.$

а) $\sqrt{x+3} \cdot \sqrt{4x+5} < 6$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под знаками корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 4x + 5 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -5/4 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -1.25 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x \ge -1.25$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1.25; +\infty)$.

2. Решим неравенство.
На ОДЗ левая часть неравенства неотрицательна. Правая часть (6) также положительна. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, при этом знак неравенства не изменится. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (которое справедливо, так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$ на ОДЗ):
$\sqrt{(x+3)(4x+5)} < 6$
Возводим в квадрат:
$(x+3)(4x+5) < 36$
$4x^2 + 5x + 12x + 15 < 36$
$4x^2 + 17x - 21 < 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.
Найдем корни уравнения $4x^2 + 17x - 21 = 0$.
Дискриминант: $D = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 289 + 336 = 625 = 25^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-17 \pm 25}{8}$.
$x_1 = \frac{-17 - 25}{8} = \frac{-42}{8} = -5.25$.
$x_2 = \frac{-17 + 25}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Так как ветви параболы $y = 4x^2 + 17x - 21$ направлены вверх, неравенство $4x^2 + 17x - 21 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-5.25; 1)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in [-1.25; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-5.25; 1)$.
Пересечение этих множеств: $x \in [-1.25; 1)$.

Ответ: $x \in [-1.25; 1)$.

б) $\sqrt{(x+3)(4x+5)} < 6$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$(x+3)(4x+5) \ge 0$
Корни выражения: $x = -3$ и $x = -1.25$. Ветви параболы $y = (x+3)(4x+5)$ направлены вверх, значит, выражение неотрицательно при $x \le -3$ или $x \ge -1.25$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1.25; +\infty)$.

2. Решим неравенство.
Обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, поэтому возводим их в квадрат:
$(x+3)(4x+5) < 36$
$4x^2 + 17x + 15 < 36$
$4x^2 + 17x - 21 < 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.
Это то же неравенство, что и в пункте а). Его решение: $x \in (-5.25; 1)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1.25; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-5.25; 1)$.
Пересечением будет объединение двух интервалов:
$(-5.25; 1) \cap (-\infty; -3] = (-5.25; -3]$
$(-5.25; 1) \cap [-1.25; +\infty) = [-1.25; 1)$
Итоговое решение: $x \in (-5.25; -3] \cup [-1.25; 1)$.

Ответ: $x \in (-5.25; -3] \cup [-1.25; 1)$.

в) $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{2x+3} \ge 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x + 3 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -1.5 \end{cases} $
Пересечением является $x \ge 2$.
ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$.

2. Решим неравенство.
На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат:
$(x-2)(2x+3) \ge 3^2$
$2x^2 + 3x - 4x - 6 \ge 9$
$2x^2 - x - 15 \ge 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 15 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 11}{4}$.
$x_1 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
$x_2 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - x - 15 \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.
Пересечение этих множеств: $x \in [3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

г) $\sqrt{(x-2)(2x+3)} \ge 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$(x-2)(2x+3) \ge 0$
Корни: $x = 2$ и $x = -1.5$. Ветви параболы направлены вверх, значит, выражение неотрицательно при $x \le -1.5$ или $x \ge 2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [2; +\infty)$.

2. Решим неравенство.
Обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, возводим в квадрат:
$(x-2)(2x+3) \ge 9$
$2x^2 - x - 6 \ge 9$
$2x^2 - x - 15 \ge 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.
Это то же неравенство, что и в пункте в). Его решение: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [2; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.
Пересекаем решение с каждым из интервалов ОДЗ:
$((-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)) \cap (-\infty; -1.5] = (-\infty; -2.5]$
$((-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)) \cap [2; +\infty) = [3; +\infty)$
Итоговое решение является объединением этих результатов: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.

30.36. a) $\sqrt[4]{2 \cos x} > 1;$

б) $\sqrt[6]{1 + 2 \cos 4x} > \sqrt{2 - \sqrt{3}};$

В) $\sqrt[4]{8 \operatorname{ctg} \frac{x}{2}} < 2;$

г) $\sqrt[3]{2 \sin 3x - 1} < -1.$

a) Исходное неравенство: $\sqrt[4]{2 \cos x} > 1$.

Поскольку корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):$2 \cos x \ge 0$, что равносильно $\cos x \ge 0$.

Обе части исходного неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в четвертую степень, сохранив знак неравенства:$(\sqrt[4]{2 \cos x})^4 > 1^4$$2 \cos x > 1$$\cos x > \frac{1}{2}$

Условие $\cos x > \frac{1}{2}$ является более строгим, чем условие ОДЗ ($\cos x \ge 0$), поэтому достаточно решить только это неравенство. Решение неравенства $\cos x > \frac{1}{2}$ на единичной окружности соответствует дуге, заключенной между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.

С учетом периодичности функции косинус, общее решение неравенства записывается в виде:$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство: $\sqrt[6]{1 + 2 \cos 4x} > \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

Оценим правую часть неравенства. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ является отрицательным числом.

Левая часть неравенства, $\sqrt[6]{1 + 2 \cos 4x}$, как корень четной степени, по определению является неотрицательной величиной ( $\ge 0$ ).

Неравенство, в котором неотрицательная величина сравнивается с отрицательной (неотрицательное > отрицательного), всегда верно, при условии, что левая часть существует. Таким образом, решение неравенства совпадает с его областью допустимых значений (ОДЗ).

Найдем ОДЗ, решив неравенство:$1 + 2 \cos 4x \ge 0$$2 \cos 4x \ge -1$$\cos 4x \ge -\frac{1}{2}$

Пусть $t = 4x$. Тогда $\cos t \ge -\frac{1}{2}$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Произведем обратную замену:$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 4x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$Разделим все части неравенства на 4:$-\frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} \le x \le \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4}$$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}], n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное неравенство: $\sqrt[4]{8 \operatorname{ctg} \frac{x}{2}} < 2$.

ОДЗ определяется неотрицательностью подкоренного выражения:$8 \operatorname{ctg} \frac{x}{2} \ge 0$, что равносильно $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} \ge 0$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в четвертую степень:$(\sqrt[4]{8 \operatorname{ctg} \frac{x}{2}})^4 < 2^4$$8 \operatorname{ctg} \frac{x}{2} < 16$$\operatorname{ctg} \frac{x}{2} < 2$

Теперь необходимо найти решение, удовлетворяющее обоим условиям:$\begin{cases} \operatorname{ctg} \frac{x}{2} \ge 0 \\ \operatorname{ctg} \frac{x}{2} < 2 \end{cases}$Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 \le \operatorname{ctg} \frac{x}{2} < 2$.

Пусть $t = \frac{x}{2}$. Решим неравенство $0 \le \operatorname{ctg} t < 2$.Функция $y = \operatorname{ctg} t$ является убывающей на своем основном промежутке определения $(0, \pi)$.Из $\operatorname{ctg} t < 2$ следует $t > \operatorname{arcctg} 2$.Из $\operatorname{ctg} t \ge 0$ следует $t \le \frac{\pi}{2}$.Объединяя эти условия и учитывая периодичность, получаем:$\operatorname{arcctg} 2 + \pi k < t \le \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:$\operatorname{arcctg} 2 + \pi k < \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2} + \pi k$Умножим все части на 2:$2 \operatorname{arcctg} 2 + 2\pi k < x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2 \operatorname{arcctg} 2 + 2\pi k; \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное неравенство: $\sqrt[3]{2 \sin 3x - 1} < -1$.

Поскольку корень нечетной степени (кубический), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части неравенства в третью степень. Так как степень нечетная, знак неравенства сохраняется:$(\sqrt[3]{2 \sin 3x - 1})^3 < (-1)^3$$2 \sin 3x - 1 < -1$$2 \sin 3x < 0$$\sin 3x < 0$

Пусть $t = 3x$. Решим неравенство $\sin t < 0$.Функция синус отрицательна в III и IV координатных четвертях. На круге это соответствует интервалу $(\pi, 2\pi)$.С учетом периодичности, решение для $t$ имеет вид:$\pi + 2\pi n < t < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:$\pi + 2\pi n < 3x < 2\pi + 2\pi n$Разделим все части неравенства на 3:$\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}$.