Номер 30.35, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.35, страница 194.

30.35. a) $\sqrt{x+3} \cdot \sqrt{4x+5} < 6;$

В) $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{2x+3} \ge 3;$

б) $\sqrt{(x+3)(4x+5)} < 6;$

Г) $\sqrt{(x-2)(2x+3)} \ge 3.$

а) $\sqrt{x+3} \cdot \sqrt{4x+5} < 6$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под знаками корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 4x + 5 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -5/4 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -1.25 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x \ge -1.25$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1.25; +\infty)$.

2. Решим неравенство.
На ОДЗ левая часть неравенства неотрицательна. Правая часть (6) также положительна. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, при этом знак неравенства не изменится. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (которое справедливо, так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$ на ОДЗ):
$\sqrt{(x+3)(4x+5)} < 6$
Возводим в квадрат:
$(x+3)(4x+5) < 36$
$4x^2 + 5x + 12x + 15 < 36$
$4x^2 + 17x - 21 < 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.
Найдем корни уравнения $4x^2 + 17x - 21 = 0$.
Дискриминант: $D = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 289 + 336 = 625 = 25^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-17 \pm 25}{8}$.
$x_1 = \frac{-17 - 25}{8} = \frac{-42}{8} = -5.25$.
$x_2 = \frac{-17 + 25}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Так как ветви параболы $y = 4x^2 + 17x - 21$ направлены вверх, неравенство $4x^2 + 17x - 21 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-5.25; 1)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in [-1.25; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-5.25; 1)$.
Пересечение этих множеств: $x \in [-1.25; 1)$.

Ответ: $x \in [-1.25; 1)$.

б) $\sqrt{(x+3)(4x+5)} < 6$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$(x+3)(4x+5) \ge 0$
Корни выражения: $x = -3$ и $x = -1.25$. Ветви параболы $y = (x+3)(4x+5)$ направлены вверх, значит, выражение неотрицательно при $x \le -3$ или $x \ge -1.25$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1.25; +\infty)$.

2. Решим неравенство.
Обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, поэтому возводим их в квадрат:
$(x+3)(4x+5) < 36$
$4x^2 + 17x + 15 < 36$
$4x^2 + 17x - 21 < 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.
Это то же неравенство, что и в пункте а). Его решение: $x \in (-5.25; 1)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1.25; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-5.25; 1)$.
Пересечением будет объединение двух интервалов:
$(-5.25; 1) \cap (-\infty; -3] = (-5.25; -3]$
$(-5.25; 1) \cap [-1.25; +\infty) = [-1.25; 1)$
Итоговое решение: $x \in (-5.25; -3] \cup [-1.25; 1)$.

Ответ: $x \in (-5.25; -3] \cup [-1.25; 1)$.

в) $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{2x+3} \ge 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x + 3 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -1.5 \end{cases} $
Пересечением является $x \ge 2$.
ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$.

2. Решим неравенство.
На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат:
$(x-2)(2x+3) \ge 3^2$
$2x^2 + 3x - 4x - 6 \ge 9$
$2x^2 - x - 15 \ge 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 15 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 11}{4}$.
$x_1 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
$x_2 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - x - 15 \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.
Пересечение этих множеств: $x \in [3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

г) $\sqrt{(x-2)(2x+3)} \ge 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$(x-2)(2x+3) \ge 0$
Корни: $x = 2$ и $x = -1.5$. Ветви параболы направлены вверх, значит, выражение неотрицательно при $x \le -1.5$ или $x \ge 2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [2; +\infty)$.

2. Решим неравенство.
Обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, возводим в квадрат:
$(x-2)(2x+3) \ge 9$
$2x^2 - x - 6 \ge 9$
$2x^2 - x - 15 \ge 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.
Это то же неравенство, что и в пункте в). Его решение: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [2; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.
Пересекаем решение с каждым из интервалов ОДЗ:
$((-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)) \cap (-\infty; -1.5] = (-\infty; -2.5]$
$((-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)) \cap [2; +\infty) = [3; +\infty)$
Итоговое решение является объединением этих результатов: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [3; +\infty)$.