Номер 30.41, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.41, страница 195.

Решите неравенство:

30.41. а) $\sqrt{x - 2} > \sqrt{4 - x};$

б) $\sqrt{x^3 - x^2} \ge \sqrt{2 - x - x^2};$

в) $\sqrt{25 - x^2} < \sqrt{5x - 11};$

г) $\sqrt{x^3 - 2x^2 + 3} \le \sqrt{x^3 + x^2 - 8x + 8}.$

а)

Исходное неравенство $ \sqrt{x - 2} > \sqrt{4 - x} $ является иррациональным. Поскольку функция квадратного корня монотонно возрастает на своей области определения, данное неравенство равносильно системе, где подкоренное выражение левой части больше подкоренного выражения правой, а подкоренное выражение правой части (меньшее) должно быть неотрицательным:

$ \begin{cases} x - 2 > 4 - x \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$ x - 2 > 4 - x $

$ 2x > 6 $

$ x > 3 $

Решим второе неравенство системы:

$ 4 - x \ge 0 $

$ x \le 4 $

Для нахождения итогового решения необходимо найти пересечение полученных множеств: $ x > 3 $ и $ x \le 4 $. Это соответствует промежутку $ (3, 4] $.

Ответ: $ (3, 4] $.

б)

Неравенство $ \sqrt{x^3 - x^2} \ge \sqrt{2 - x - x^2} $ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} x^3 - x^2 \ge 2 - x - x^2 \\ 2 - x - x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$ x^3 - x^2 \ge 2 - x - x^2 $

$ x^3 + x - 2 \ge 0 $

Найдем корень многочлена $ P(x) = x^3 + x - 2 $. Методом подбора находим, что $ x=1 $ является корнем, так как $ P(1) = 1^3 + 1 - 2 = 0 $. Разделим многочлен на $ (x-1) $, например, столбиком или по схеме Горнера, и получим $ x^2 + x + 2 $. Таким образом:

$ (x - 1)(x^2 + x + 2) \ge 0 $

Рассмотрим квадратный трехчлен $ x^2 + x + 2 $. Его дискриминант $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0 $. Поскольку старший коэффициент (при $x^2$) положителен, выражение $ x^2 + x + 2 $ всегда положительно. Значит, знак неравенства зависит только от множителя $ (x-1) $.

$ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $

Теперь решим второе неравенство системы:

$ 2 - x - x^2 \ge 0 $

$ x^2 + x - 2 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ x^2 + x - 2 = 0 $. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 1 $. Неравенство можно записать в виде $ (x+2)(x-1) \le 0 $. Решением этого неравенства является отрезок $ [-2, 1] $.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $ x \ge 1 $ и $ x \in [-2, 1] $. Единственной точкой, удовлетворяющей обоим условиям, является $ x=1 $.

Ответ: $ \{1\} $.

в)

Неравенство $ \sqrt{25 - x^2} < \sqrt{5x - 11} $ равносильно системе:

$ \begin{cases} 25 - x^2 < 5x - 11 \\ 25 - x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$ 25 - x^2 < 5x - 11 $

$ 0 < x^2 + 5x - 36 $

Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + 5x - 36 = 0 $. Дискриминант $ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{-5 \pm 13}{2} $, то есть $ x_1 = -9 $ и $ x_2 = 4 $. Неравенство $ (x+9)(x-4) > 0 $ выполняется, когда $ x $ находится вне интервала между корнями, то есть $ x \in (-\infty, -9) \cup (4, \infty) $.

Решим второе неравенство системы:

$ 25 - x^2 \ge 0 $

$ x^2 \le 25 $

Решением этого неравенства является отрезок $ [-5, 5] $.

Найдем пересечение полученных решений: $ ( (-\infty, -9) \cup (4, \infty) ) \cap [-5, 5] $. Пересекая эти множества, получаем интервал $ (4, 5] $.

Ответ: $ (4, 5] $.

г)

Неравенство $ \sqrt{x^3 - 2x^2 + 3} \le \sqrt{x^3 + x^2 - 8x + 8} $ равносильно системе:

$ \begin{cases} x^3 - 2x^2 + 3 \le x^3 + x^2 - 8x + 8 \\ x^3 - 2x^2 + 3 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы, сократив $x^3$ в обеих частях:

$ -2x^2 + 3 \le x^2 - 8x + 8 $

$ 0 \le 3x^2 - 8x + 5 $

Найдем корни уравнения $ 3x^2 - 8x + 5 = 0 $. Так как сумма коэффициентов $ 3-8+5=0 $, то $ x_1=1 $ является корнем. Второй корень по теореме Виета $ x_2 = c/a = 5/3 $. Неравенство $ 3(x-1)(x-5/3) \ge 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty, 1] \cup [5/3, \infty) $.

Решим второе неравенство системы:

$ x^3 - 2x^2 + 3 \ge 0 $

Найдем корень многочлена $ P(x) = x^3 - 2x^2 + 3 $. Подбором находим, что $ x=-1 $ является корнем: $ P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 $. Разделим многочлен на $ (x+1) $ и получим $ x^2 - 3x + 3 $.

$ (x + 1)(x^2 - 3x + 3) \ge 0 $

Для квадратного трехчлена $ x^2 - 3x + 3 $ дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0 $. Так как старший коэффициент положителен, $ x^2 - 3x + 3 > 0 $ для всех $x$. Поэтому неравенство равносильно $ x + 1 \ge 0 $, откуда $ x \ge -1 $.

Найдем пересечение решений $ x \in (-\infty, 1] \cup [5/3, \infty) $ и $ x \ge -1 $.

Пересечение $ (-\infty, 1] $ и $ [-1, \infty) $ дает $ [-1, 1] $.

Пересечение $ [5/3, \infty) $ и $ [-1, \infty) $ дает $ [5/3, \infty) $.

Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $ [-1, 1] \cup [5/3, \infty) $.