Номер 30.34, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.34, страница 194.

30.34. a) $\sqrt{x^2 - 4x - 3} < 3;$

б) $\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1} \ge 1;$

в) $\sqrt{36 - x - 12x^2} > 5;$

г) $\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3} \le 1.$

а) Данное неравенство $\sqrt{x^2 - 4x - 3} < 3$ равносильно системе неравенств, так как корень четной степени должен быть определен, а обе части неравенства неотрицательны (так как $\sqrt{...} \ge 0$ и $3 > 0$):

$\begin{cases} x^2 - 4x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 4x - 3 < 3^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 3 \ge 0$.Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 3 = 0$.Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x - 3$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{7}] \cup [2 + \sqrt{7}; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x - 3 < 9$.$x^2 - 4x - 12 < 0$.Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.По теореме Виета, корни $x_3 = -2$ и $x_4 = 6$.Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-2; 6)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:$x \in \left( (-\infty; 2 - \sqrt{7}] \cup [2 + \sqrt{7}; +\infty) \right) \cap (-2; 6)$.Оценим значения корней: $2 < \sqrt{7} < 3$, поэтому $2 - \sqrt{7} \approx 2 - 2.65 = -0.65$ и $2 + \sqrt{7} \approx 2 + 2.65 = 4.65$.Пересечение интервалов дает нам два промежутка: от $-2$ до $2-\sqrt{7}$ (включая) и от $2+\sqrt{7}$ (включая) до $6$.Ответ: $x \in (-2; 2 - \sqrt{7}] \cup [2 + \sqrt{7}; 6)$.

б) В неравенстве $\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1} \ge 1$ корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в шестую степень, сохранив знак неравенства.

$x^3 - 2x^2 + 1 \ge 1^6$

$x^3 - 2x^2 \ge 0$

Это неравенство сильнее, чем требование ОДЗ ($x^3 - 2x^2 + 1 \ge 0$), поэтому достаточно решить только его.Вынесем общий множитель за скобки:$x^2(x - 2) \ge 0$.

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$).Рассмотрим два случая:1. Если $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$, то для выполнения неравенства требуется, чтобы $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.2. Если $x^2 = 0$, то есть $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot (0 - 2) \ge 0$, или $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=0$ является решением.

Объединяя оба случая, получаем решение.Ответ: $x \in \{0\} \cup [2; +\infty)$.

в) В неравенстве $\sqrt{36 - x - 12x^2} > 5$ корень четной степени. Так как правая часть (число 5) положительна, мы можем возвести обе части в квадрат. При этом условие неотрицательности подкоренного выражения ($36 - x - 12x^2 \ge 0$) будет выполнено автоматически, так как оно будет больше, чем $5^2=25$.

$36 - x - 12x^2 > 5^2$

$36 - x - 12x^2 > 25$

$-12x^2 - x + 11 > 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:$12x^2 + x - 11 < 0$.

Найдем корни уравнения $12x^2 + x - 11 = 0$.Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-11) = 1 + 528 = 529 = 23^2$.Корни: $x_1 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 12} = \frac{-24}{24} = -1$, $x_2 = \frac{-1 + 23}{24} = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}$.

Ветви параболы $y = 12x^2 + x - 11$ направлены вверх, поэтому неравенство $12x^2 + x - 11 < 0$ выполняется между корнями.Ответ: $x \in (-1; \frac{11}{12})$.

г) В неравенстве $\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3} \le 1$ корень нечетной степени (седьмой), поэтому область допустимых значений $x$ — все действительные числа. Мы можем без дополнительных условий возвести обе части неравенства в седьмую степень.

$(\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3})^7 \le 1^7$

$1 - x^2 - x^3 \le 1$

$-x^2 - x^3 \le 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:$x^3 + x^2 \ge 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:$x^2(x + 1) \ge 0$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любых $x$, неравенство сводится к двум случаям:1. $x=0$, тогда $0 \ge 0$ — верно.2. $x \ne 0$, тогда $x^2 > 0$, и можно разделить на $x^2$, получив $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

Объединяя решение $x \ge -1$ (которое включает $x \ne 0$) и $x=0$, получаем итоговый промежуток.Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.