Номер 30.27, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.27, страница 193.

30.27. a) $\sqrt{\lg x + 2\sqrt{\lg x - 1}} + \sqrt{\lg x - 2\sqrt{\lg x - 1}} = \lg x - 1;$

б) $\sqrt{5^x + 8 + 2\sqrt{5^x + 7}} + \sqrt{5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7}} = 4.$

a)

Исходное уравнение: $ \sqrt{\lg x + 2\sqrt{\lg x - 1}} + \sqrt{\lg x - 2\sqrt{\lg x - 1}} = \lg x - 1 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $ x > 0 $.
2. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $ \lg x - 1 \ge 0 \implies \lg x \ge 1 \implies x \ge 10 $.
3. Выражения под внешними корнями должны быть неотрицательными.
   Рассмотрим $ \lg x - 2\sqrt{\lg x - 1} \ge 0 $. Пусть $ t = \lg x $. С учетом $ t \ge 1 $, неравенство примет вид $ t \ge 2\sqrt{t-1} $. Так как обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: $ t^2 \ge 4(t-1) \implies t^2 - 4t + 4 \ge 0 \implies (t-2)^2 \ge 0 $. Это неравенство верно для любых $ t $.
   Выражение $ \lg x + 2\sqrt{\lg x - 1} $ при $ \lg x \ge 1 $ всегда положительно.
4. Правая часть уравнения, равная сумме двух арифметических корней, должна быть неотрицательной: $ \lg x - 1 \ge 0 $, что совпадает с условием 2.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \ge 10 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = \lg x $. С учетом ОДЗ, $ y \ge 1 $. Уравнение принимает вид:

$ \sqrt{y + 2\sqrt{y - 1}} + \sqrt{y - 2\sqrt{y - 1}} = y - 1 $

Преобразуем выражения под внешними корнями, выделив полные квадраты. Заметим, что $ y = (y-1) + 1 $.

$ y + 2\sqrt{y - 1} = (y-1) + 2\sqrt{y-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{y-1} + 1)^2 $

$ y - 2\sqrt{y - 1} = (y-1) - 2\sqrt{y-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{y-1} - 1)^2 $

Подставим эти выражения в уравнение:

$ \sqrt{(\sqrt{y-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{y-1} - 1)^2} = y - 1 $

$ |\sqrt{y-1} + 1| + |\sqrt{y-1} - 1| = y - 1 $

Поскольку $ \sqrt{y-1} \ge 0 $, то $ \sqrt{y-1} + 1 > 0 $, и первый модуль раскрывается со знаком плюс. Пусть $ z = \sqrt{y-1} $, тогда $ y-1 = z^2 $. Уравнение примет вид:

$ (z + 1) + |z - 1| = z^2 $, где $ z \ge 0 $.

Рассмотрим два случая:

1. Если $ z - 1 \ge 0 $, то есть $ z \ge 1 $.
$ (z+1) + (z-1) = z^2 $
$ 2z = z^2 $
$ z^2 - 2z = 0 $
$ z(z-2) = 0 $
Получаем $ z=0 $ или $ z=2 $. Условию $ z \ge 1 $ удовлетворяет только $ z=2 $.

2. Если $ 0 \le z < 1 $.
$ (z+1) - (z-1) = z^2 $
$ 2 = z^2 $
Получаем $ z = \sqrt{2} $ или $ z = -\sqrt{2} $. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $ 0 \le z < 1 $.

Единственным решением является $ z=2 $. Вернемся к исходным переменным:

$ \sqrt{y-1} = 2 $
Возводим в квадрат: $ y-1 = 4 \implies y=5 $.

$ \lg x = 5 \implies x = 10^5 = 100000 $.

Найденный корень $ x=100000 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x \ge 10 $).

Ответ: $ x = 100000 $.

---

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt{5^x + 8 + 2\sqrt{5^x + 7}} + \sqrt{5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7}} = 4 $.

ОДЗ:
$ 5^x + 7 \ge 0 \implies 5^x \ge -7 $, что верно для любого действительного $ x $.
$ 5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7} \ge 0 $.

Преобразуем первое слагаемое в левой части, выделив полный квадрат:

$ 5^x + 8 + 2\sqrt{5^x + 7} = (5^x+7) + 2\sqrt{5^x+7} + 1 = (\sqrt{5^x+7} + 1)^2 $.

Тогда $ \sqrt{5^x + 8 + 2\sqrt{5^x + 7}} = \sqrt{(\sqrt{5^x+7} + 1)^2} = |\sqrt{5^x+7} + 1| = \sqrt{5^x+7} + 1 $.

Уравнение принимает вид:

$ (\sqrt{5^x+7} + 1) + \sqrt{5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7}} = 4 $.

Сделаем замену. Пусть $ y = \sqrt{5^x+7} $. Тогда $ 5^x = y^2 - 7 $. Так как $ 5^x > 0 $, то $ y^2 - 7 > 0 \implies y > \sqrt{7} $.

Подставим $ y $ в уравнение:

$ (y+1) + \sqrt{(y^2-7) + 1 - y} = 4 $

$ y+1 + \sqrt{y^2-y-6} = 4 $

Изолируем радикал:

$ \sqrt{y^2-y-6} = 3-y $.

Для решения этого иррационального уравнения необходимо, чтобы выполнялись условия:

1. Подкоренное выражение неотрицательно: $ y^2-y-6 \ge 0 \implies (y-3)(y+2) \ge 0 $. Это верно при $ y \le -2 $ или $ y \ge 3 $.
2. Правая часть уравнения неотрицательна: $ 3-y \ge 0 \implies y \le 3 $.

Учитывая также условие замены $ y > \sqrt{7} \approx 2.64 $, получаем систему ограничений для $ y $:

$ \begin{cases} y \ge 3 \text{ или } y \le -2 \\ y \le 3 \\ y > \sqrt{7} \end{cases} $

Единственное значение, удовлетворяющее всем этим условиям, — это $ y=3 $. Проверим его, подставив в уравнение $ \sqrt{y^2-y-6} = 3-y $:

$ \sqrt{3^2-3-6} = 3-3 \implies \sqrt{0} = 0 $. Верно.

Таким образом, $ y=3 $ является единственным решением. Вернемся к переменной $ x $:

$ \sqrt{5^x+7} = 3 $

Возведем обе части в квадрат:

$ 5^x+7 = 9 $

$ 5^x = 2 $

$ x = \log_5 2 $.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Мы должны проверить условие $ 5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7} \ge 0 $. Подставляя $ 5^x=2 $:

$ 2 + 1 - \sqrt{2+7} = 3 - \sqrt{9} = 3-3 = 0 $. Условие $ 0 \ge 0 $ выполняется.

Ответ: $ x = \log_5 2 $.