Номер 30.20, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.20, страница 192.

30.20. а) $\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}} + 4 \cdot \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 3}} = 4;$

б) $5 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} + \sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} = 6.$

а) $\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}} + 4 \cdot \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 3}} = 4$

Данное уравнение является иррациональным. Заметим, что подкоренные выражения являются взаимно обратными. Это позволяет решить уравнение с помощью введения новой переменной.

Пусть $y = \sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, и в данном уравнении $y$ не может быть равен нулю (так как второе слагаемое содержит $\frac{1}{y}$), то $y > 0$.

Тогда второе слагаемое можно выразить через $y$: $\sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y + \frac{4}{y} = 4$

Умножим обе части уравнения на $y$ (помним, что $y \neq 0$):

$y^2 + 4 = 4y$

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$y^2 - 4y + 4 = 0$

Это полный квадрат разности:

$(y - 2)^2 = 0$

Отсюда $y - 2 = 0$, следовательно, $y = 2$.

Найденное значение $y = 2$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{2x + 3}{2x - 1} = 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатели не должны равняться нулю. Таким образом, $\frac{2x + 3}{2x - 1} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -1.5) \cup (0.5; +\infty)$.

Решим уравнение относительно $x$:

$2x + 3 = 4(2x - 1)$

$2x + 3 = 8x - 4$

$7 = 6x$

$x = \frac{7}{6}$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $\frac{7}{6} \approx 1.17$, а $1.17 > 0.5$, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\frac{7}{6}$

б) $5 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} + \sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} = 6$

Как и в предыдущем задании, введем замену, так как подкоренные выражения взаимно обратны.

Пусть $y = \sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}}$. Условие для новой переменной: $y > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} = \frac{1}{y}$.

Запишем уравнение с новой переменной:

$5y + \frac{1}{y} = 6$

Умножим обе части на $y$ ($y \neq 0$):

$5y^2 + 1 = 6y$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5y^2 - 6y + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$

$\sqrt{D} = 4$

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Оба корня $y_1 = \frac{1}{5}$ и $y_2 = 1$ удовлетворяют условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для каждого из найденных значений $y$.

Случай 1: $y = \frac{1}{5}$

$\sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} = \frac{1}{5}$

Возводим в квадрат:

$\frac{x + 3}{5x - 1} = \frac{1}{25}$

$25(x + 3) = 5x - 1$

$25x + 75 = 5x - 1$

$20x = -76$

$x_1 = -\frac{76}{20} = -\frac{19}{5} = -3.8$

Случай 2: $y = 1$

$\sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} = 1$

Возводим в квадрат:

$\frac{x + 3}{5x - 1} = 1$

$x + 3 = 5x - 1$

$4 = 4x$

$x_2 = 1$

Найдем ОДЗ исходного уравнения: $\frac{x + 3}{5x - 1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -3) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)$.

Проверим найденные корни. $x_1 = -3.8$ принадлежит интервалу $(-\infty; -3)$. $x_2 = 1$ принадлежит интервалу $(\frac{1}{5}; +\infty)$. Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $-3.8; 1$