Номер 30.22, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.22, страница 193.

ο30.22.

a) $x \cdot \sqrt{\frac{x+5}{x}} + (x+5)\sqrt{\frac{x}{x+5}} = 12;$

б) $(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} + (x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} = 14\sqrt{2}.$

а) $x \cdot \sqrt{\frac{x+5}{x}} + (x+5)\sqrt{\frac{x}{x+5}} = 12$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$\frac{x+5}{x} \ge 0$ и $x \neq 0, x \neq -5$.

Решая неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in (-\infty, -5) \cup (0, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака множителей перед корнями.

Случай 1: $x > 0$.

В этом случае $x$ и $x+5$ положительны. Мы можем внести множители под знак корня:

$x\sqrt{\frac{x+5}{x}} = \sqrt{x^2 \cdot \frac{x+5}{x}} = \sqrt{x(x+5)}$

$(x+5)\sqrt{\frac{x}{x+5}} = \sqrt{(x+5)^2 \cdot \frac{x}{x+5}} = \sqrt{(x+5)x}$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x(x+5)} + \sqrt{x(x+5)} = 12$

$2\sqrt{x(x+5)} = 12$

$\sqrt{x(x+5)} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$x(x+5) = 36$

$x^2 + 5x - 36 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -9$.

Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x=4$.

Случай 2: $x < -5$.

В этом случае $x < 0$ и $x+5 < 0$. При внесении отрицательного множителя под знак корня перед корнем появляется знак минус.

$x\sqrt{\frac{x+5}{x}} = -|x|\sqrt{\frac{x+5}{x}} = -\sqrt{x^2 \cdot \frac{x+5}{x}} = -\sqrt{x(x+5)}$

$(x+5)\sqrt{\frac{x}{x+5}} = -|x+5|\sqrt{\frac{x}{x+5}} = -\sqrt{(x+5)^2 \cdot \frac{x}{x+5}} = -\sqrt{(x+5)x}$

Уравнение принимает вид:

$-\sqrt{x(x+5)} - \sqrt{x(x+5)} = 12$

$-2\sqrt{x(x+5)} = 12$

$\sqrt{x(x+5)} = -6$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.

Таким образом, единственным решением является $x=4$.

Ответ: $4$.

б) $(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} + (x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} = 14\sqrt{2}$

1. Найдем ОДЗ. Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатели не равны нулю.

$\frac{x+2}{x-5} \ge 0$ и $x \neq 5, x \neq -2$.

Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x > 5$.

В этом случае множители $x-5$ и $x+2$ положительны. Внесем их под знак корня:

$(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} = \sqrt{(x-5)^2 \cdot \frac{x+2}{x-5}} = \sqrt{(x-5)(x+2)}$

$(x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} = \sqrt{(x+2)^2 \cdot \frac{x-5}{x+2}} = \sqrt{(x+2)(x-5)}$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(x-5)(x+2)} + \sqrt{(x-5)(x+2)} = 14\sqrt{2}$

$2\sqrt{(x-5)(x+2)} = 14\sqrt{2}$

$\sqrt{(x-5)(x+2)} = 7\sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x-5)(x+2) = (7\sqrt{2})^2$

$x^2 - 3x - 10 = 49 \cdot 2$

$x^2 - 3x - 10 = 98$

$x^2 - 3x - 108 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441 = 21^2$.

$x = \frac{3 \pm 21}{2}$

$x_1 = \frac{3+21}{2} = 12$, $x_2 = \frac{3-21}{2} = -9$.

Условию $x > 5$ удовлетворяет только корень $x=12$.

Случай 2: $x < -2$.

В этом случае множители $x-5$ и $x+2$ отрицательны. При внесении их под корень ставим знак минус:

$(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} = -\sqrt{(x-5)^2 \cdot \frac{x+2}{x-5}} = -\sqrt{(x-5)(x+2)}$

$(x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} = -\sqrt{(x+2)^2 \cdot \frac{x-5}{x+2}} = -\sqrt{(x+2)(x-5)}$

Уравнение принимает вид:

$-\sqrt{(x-5)(x+2)} - \sqrt{(x-5)(x+2)} = 14\sqrt{2}$

$-2\sqrt{(x-5)(x+2)} = 14\sqrt{2}$

$\sqrt{(x-5)(x+2)} = -7\sqrt{2}$

Уравнение не имеет действительных решений.

Единственным решением является $x=12$.

Ответ: $12$.