Номер 30.23, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.23, страница 193.

30.23. a) $\sqrt{-2x + 20} = 2^x$;

б) $\sqrt{5 + 12 \cdot 3^x - 9^x} = 3^x - 7$;

в) $\sqrt{7 - 0,5^x} = 0,5^x - 1$;

г) $5\sqrt{36^x - 2} = 4^{x+1} \cdot 9^x - 14$.

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{-2^x + 20} = 2^x$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-2^x + 20 \ge 0 \implies 2^x \le 20$. Во-вторых, правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной: $2^x \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как показательная функция всегда положительна. Итак, ОДЗ: $2^x \le 20$.

Для решения уравнения введем замену: пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $t > 0$. С учетом ОДЗ получаем условие для $t$: $0 < t \le 20$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{-t + 20} = t$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $-t + 20 = t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $t^2 + t - 20 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$. Корни: $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$ $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим найденные корни на соответствие условию $0 < t \le 20$. $t_1 = 4$ удовлетворяет условию. $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($t > 0$), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t = 4$: $2^x = 4$ $2^x = 2^2$ $x = 2$

Проверим найденный корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{-2^2 + 20} = \sqrt{-4 + 20} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $2^2 = 4$. $4 = 4$. Корень найден верно.

Ответ: $2$

б)

Дано уравнение: $\sqrt{5 + 12 \cdot 3^x - 9^x} = 3^x - 7$.

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Уравнение можно переписать так: $\sqrt{5 + 12 \cdot 3^x - (3^x)^2} = 3^x - 7$.

ОДЗ: 1. Выражение под корнем неотрицательно: $5 + 12 \cdot 3^x - (3^x)^2 \ge 0$. 2. Правая часть неотрицательна: $3^x - 7 \ge 0 \implies 3^x \ge 7$.

Сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Условие $3^x \ge 7$ превращается в $t \ge 7$. Уравнение с новой переменной: $\sqrt{5 + 12t - t^2} = t - 7$.

Возводим обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны при $t \ge 7$): $5 + 12t - t^2 = (t - 7)^2$ $5 + 12t - t^2 = t^2 - 14t + 49$

Приводим подобныe члены: $2t^2 - 26t + 44 = 0$ Разделим все уравнение на 2: $t^2 - 13t + 22 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 13, произведение равно 22. Корни $t_1 = 11$ и $t_2 = 2$. Или через дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81 = 9^2$. $t_1 = \frac{13 + 9}{2} = \frac{22}{2} = 11$ $t_2 = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверяем корни по условию $t \ge 7$. $t_1 = 11$ удовлетворяет условию. $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.

Выполняем обратную замену для $t=11$: $3^x = 11$ По определению логарифма: $x = \log_3 11$.

Ответ: $\log_3 11$

в)

Дано уравнение: $\sqrt{7 - 0,5^x} = 0,5^x - 1$.

ОДЗ: 1. $7 - 0,5^x \ge 0 \implies 0,5^x \le 7$. 2. $0,5^x - 1 \ge 0 \implies 0,5^x \ge 1$. Объединяя условия, получаем: $1 \le 0,5^x \le 7$.

Пусть $t = 0,5^x$. Тогда для $t$ имеем условие $1 \le t \le 7$. Уравнение: $\sqrt{7 - t} = t - 1$.

Возводим в квадрат обе части: $7 - t = (t - 1)^2$ $7 - t = t^2 - 2t + 1$

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - t - 6 = 0$

Решаем его. По теореме Виета: сумма корней 1, произведение -6. Корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$. Или через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$. $t_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$ $t_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Проверяем корни по условию $1 \le t \le 7$. $t_1 = 3$ удовлетворяет условию. $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, посторонний корень.

Обратная замена для $t=3$: $0,5^x = 3$ $(\frac{1}{2})^x = 3$ $2^{-x} = 3$ Берем логарифм по основанию 2 от обеих частей: $\log_2(2^{-x}) = \log_2 3$ $-x = \log_2 3$ $x = -\log_2 3$

Ответ: $-\log_2 3$

г)

Дано уравнение: $5\sqrt{36^x - 2} = 4^{x+1} \cdot 9^x - 14$.

Преобразуем показательные выражения: $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. $4^{x+1} \cdot 9^x = 4 \cdot 4^x \cdot 9^x = 4 \cdot (4 \cdot 9)^x = 4 \cdot 36^x = 4 \cdot (6^x)^2$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение: $5\sqrt{(6^x)^2 - 2} = 4 \cdot (6^x)^2 - 14$.

ОДЗ: $36^x - 2 \ge 0 \implies 36^x \ge 2$.

Сделаем замену. Пусть $t = 36^x$. Тогда условие ОДЗ: $t \ge 2$. Уравнение принимает вид: $5\sqrt{t - 2} = 4t - 14$.

Для решения такого уравнения удобно сделать еще одну замену. Пусть $y = \sqrt{t - 2}$. Тогда $y \ge 0$. Из этой замены следует, что $y^2 = t - 2$, откуда $t = y^2 + 2$.

Подставим $y$ и $t$ в уравнение $5\sqrt{t - 2} = 4t - 14$: $5y = 4(y^2 + 2) - 14$ $5y = 4y^2 + 8 - 14$ $5y = 4y^2 - 6$

Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $4y^2 - 5y - 6 = 0$. Решаем его: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$. $y_1 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$ $y_2 = \frac{5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Проверяем корни $y$ по условию $y \ge 0$. $y_1 = 2$ подходит. $y_2 = -3/4$ не подходит, посторонний корень.

Возвращаемся к переменной $t$ через $y=2$: $y = \sqrt{t-2} \implies 2 = \sqrt{t-2}$. Возводим в квадрат: $4 = t - 2 \implies t = 6$.

Проверяем $t=6$ по условию $t \ge 2$. Условие выполняется. Теперь возвращаемся к переменной $x$: $t = 36^x \implies 6 = 36^x$ $6^1 = (6^2)^x$ $6^1 = 6^{2x}$ $1 = 2x$ $x = \frac{1}{2}$

Проверим найденный корень $x=1/2$ подстановкой в исходное уравнение. Левая часть: $5\sqrt{36^{1/2} - 2} = 5\sqrt{6 - 2} = 5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$. Правая часть: $4^{1/2+1} \cdot 9^{1/2} - 14 = 4^{3/2} \cdot 3 - 14 = (2^2)^{3/2} \cdot 3 - 14 = 2^3 \cdot 3 - 14 = 8 \cdot 3 - 14 = 24 - 14 = 10$. $10=10$. Корень найден верно.

Ответ: $0,5$