Номер 30.16, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.16, страница 192.

Решите уравнение:

30.16. a) $\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x} = 4;$

б) $\sqrt{3x + 16} - 2\sqrt{x - 2} = 3;$

в) $\sqrt{2x + 6} + \sqrt{8 - x} = 5;$

г) $5\sqrt{3 - x} - 2\sqrt{x + 10} = 4.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x} = 4$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой оба подкоренных выражения неотрицательны. Из условия $x + 3 \ge 0$ следует, что $x \ge -3$. Из условия $5 - x \ge 0$ следует, что $x \le 5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3; 5]$. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней: $(\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x})^2 = 4^2$ $(x + 3) + 2\sqrt{(x + 3)(5 - x)} + (5 - x) = 16$ Упростим полученное выражение: $x + 3 + 5 - x + 2\sqrt{15 - 3x + 5x - x^2} = 16$ $8 + 2\sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 16$ Уединим оставшийся радикал: $2\sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 16 - 8$ $2\sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 8$ $\sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 4$ Снова возведем обе части в квадрат: $-x^2 + 2x + 15 = 16$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $-x^2 + 2x - 1 = 0$ $x^2 - 2x + 1 = 0$ Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(x - 1)^2 = 0$ Отсюда находим корень: $x = 1$. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $1 \in [-3; 5]$, корень подходит.
Ответ: $1$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3x + 16} - 2\sqrt{x - 2} = 3$. Найдем ОДЗ: $3x + 16 \ge 0 \implies 3x \ge -16 \implies x \ge -16/3$. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$. Объединив условия, получаем ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$. Уединим один из радикалов для удобства возведения в квадрат: $\sqrt{3x + 16} = 3 + 2\sqrt{x - 2}$ Так как правая часть уравнения при $x \ge 2$ всегда положительна, можно возводить в квадрат без появления посторонних корней на этом шаге. $(\sqrt{3x + 16})^2 = (3 + 2\sqrt{x - 2})^2$ $3x + 16 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{x - 2} + (2\sqrt{x - 2})^2$ $3x + 16 = 9 + 12\sqrt{x - 2} + 4(x - 2)$ $3x + 16 = 9 + 12\sqrt{x - 2} + 4x - 8$ $3x + 16 = 4x + 1 + 12\sqrt{x - 2}$ Уединим оставшийся радикал: $16 - 1 - 4x + 3x = 12\sqrt{x - 2}$ $15 - x = 12\sqrt{x - 2}$ Для следующего возведения в квадрат нужно, чтобы обе части были неотрицательны. Правая часть неотрицательна, значит и левая должна быть: $15 - x \ge 0 \implies x \le 15$. С учетом ОДЗ получаем новое ограничение для корней: $x \in [2; 15]$. Возводим в квадрат: $(15 - x)^2 = (12\sqrt{x - 2})^2$ $225 - 30x + x^2 = 144(x - 2)$ $x^2 - 30x + 225 = 144x - 288$ $x^2 - 174x + 513 = 0$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-174)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 513 = 30276 - 2052 = 28224 = 168^2$. $x_1 = \frac{174 + 168}{2} = \frac{342}{2} = 171$. $x_2 = \frac{174 - 168}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Проверяем корни по ограничению $x \in [2; 15]$. Корень $x_1 = 171$ не удовлетворяет условию $x \le 15$, значит это посторонний корень. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{2x + 6} + \sqrt{8 - x} = 5$. Найдем ОДЗ: $2x + 6 \ge 0 \implies 2x \ge -6 \implies x \ge -3$. $8 - x \ge 0 \implies x \le 8$. ОДЗ: $x \in [-3; 8]$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{2x + 6} + \sqrt{8 - x})^2 = 5^2$ $(2x + 6) + 2\sqrt{(2x + 6)(8 - x)} + (8 - x) = 25$ $x + 14 + 2\sqrt{-2x^2 + 16x - 6x + 48} = 25$ $x + 14 + 2\sqrt{-2x^2 + 10x + 48} = 25$ $2\sqrt{-2x^2 + 10x + 48} = 11 - x$ Для возведения в квадрат необходимо, чтобы $11 - x \ge 0$, то есть $x \le 11$. Это условие не сужает нашу ОДЗ $x \in [-3; 8]$. Возводим в квадрат еще раз: $(2\sqrt{-2x^2 + 10x + 48})^2 = (11 - x)^2$ $4(-2x^2 + 10x + 48) = 121 - 22x + x^2$ $-8x^2 + 40x + 192 = 121 - 22x + x^2$ $9x^2 - 62x - 71 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-62)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-71) = 3844 + 2556 = 6400 = 80^2$. $x_1 = \frac{62 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{142}{18} = \frac{71}{9}$. $x_2 = \frac{62 - 80}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$. Проверяем корни по ОДЗ $x \in [-3; 8]$. Оба корня подходят, так как $71/9 = 7 \frac{8}{9}$.
Ответ: $-1; \frac{71}{9}$.

г) Исходное уравнение: $5\sqrt{3 - x} - 2\sqrt{x + 10} = 4$. Найдем ОДЗ: $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$. $x + 10 \ge 0 \implies x \ge -10$. ОДЗ: $x \in [-10; 3]$. Применим метод введения новых переменных. Пусть $u = \sqrt{3 - x}$ и $v = \sqrt{x + 10}$. Учтем, что $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Исходное уравнение примет вид: $5u - 2v = 4$. Найдем связь между $u^2$ и $v^2$: $u^2 = 3 - x$ $v^2 = x + 10$ Сложим эти два равенства: $u^2 + v^2 = (3 - x) + (x + 10) = 13$. Получили систему уравнений: $\begin{cases} 5u - 2v = 4 \\ u^2 + v^2 = 13 \end{cases}$ Из первого уравнения выразим $v$: $2v = 5u - 4 \implies v = \frac{5u - 4}{2}$. Так как $v \ge 0$, то $5u - 4 \ge 0$, откуда $u \ge \frac{4}{5}$. Подставим выражение для $v$ во второе уравнение: $u^2 + \left(\frac{5u - 4}{2}\right)^2 = 13$ $u^2 + \frac{25u^2 - 40u + 16}{4} = 13$ Умножим все уравнение на 4: $4u^2 + 25u^2 - 40u + 16 = 52$. $29u^2 - 40u - 36 = 0$. Решим квадратное уравнение относительно $u$: $D = (-40)^2 - 4 \cdot 29 \cdot (-36) = 1600 + 4176 = 5776 = 76^2$. $u_1 = \frac{40 + 76}{2 \cdot 29} = \frac{116}{58} = 2$. $u_2 = \frac{40 - 76}{2 \cdot 29} = \frac{-36}{58} = -\frac{18}{29}$. Учитывая условия $u \ge 0$ и $u \ge \frac{4}{5}$, корень $u_2$ является посторонним. Остается $u = 2$. Выполним обратную замену: $\sqrt{3 - x} = 2$. Возводим в квадрат: $3 - x = 4 \implies x = -1$. Проверяем, принадлежит ли корень ОДЗ. $-1 \in [-10; 3]$, следовательно, корень подходит.
Ответ: $-1$.