Номер 30.12, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.12, страница 191.

30.12. Докажите, что уравнение $ \sqrt{f(x)} = h(x) $ равносильно системе $ \begin{cases} f(x) = h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases} $

Для того чтобы доказать равносильность (эквивалентность) уравнения и системы, необходимо доказать два утверждения:

1. Если некоторое число $x_0$ является решением уравнения $\sqrt{f(x)} = h(x)$, то оно также является решением системы $\begin{cases} f(x) = h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases}$
2. Если некоторое число $x_0$ является решением системы $\begin{cases} f(x) = h^2(x), \\ h(x) \ge 0, \end{cases}$ то оно также является решением уравнения $\sqrt{f(x)} = h(x)$.

Доказательство 1-го утверждения (прямое следствие):

Пусть $x_0$ – корень уравнения $\sqrt{f(x)} = h(x)$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство: $\sqrt{f(x_0)} = h(x_0)$.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, левая часть уравнения $\sqrt{f(x_0)} \ge 0$.

Поскольку левая часть равна правой, то и правая часть должна быть неотрицательной: $h(x_0) \ge 0$. Это доказывает, что второе условие системы выполняется.

Теперь возведем обе части верного равенства $\sqrt{f(x_0)} = h(x_0)$ в квадрат. Так как обе части неотрицательны, такое преобразование является равносильным.

Получаем: $(\sqrt{f(x_0)})^2 = (h(x_0))^2$.

Это упрощается до $f(x_0) = h^2(x_0)$. Это доказывает, что первое уравнение системы также выполняется.

Таким образом, мы показали, что любой корень исходного уравнения является решением системы.

Доказательство 2-го утверждения (обратное следствие):

Пусть $x_0$ – решение системы $\begin{cases} f(x) = h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases}$ Это означает, что для $x_0$ верны оба соотношения: $f(x_0) = h^2(x_0)$ и $h(x_0) \ge 0$.

Рассмотрим первое равенство: $f(x_0) = h^2(x_0)$.

Поскольку квадрат любого числа $h^2(x_0)$ является неотрицательным, то и $f(x_0) \ge 0$. Это означает, что область определения для корня $\sqrt{f(x_0)}$ соблюдена, и мы можем извлечь корень из обеих частей равенства.

$\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h^2(x_0)}$

По свойству квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{f(x_0)} = |h(x_0)|$

Теперь воспользуемся вторым условием системы: $h(x_0) \ge 0$. По определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то модуль равен самому выражению: $|h(x_0)| = h(x_0)$.

Подставим это в наше равенство: $\sqrt{f(x_0)} = h(x_0)$.

Это в точности исходное уравнение. Таким образом, мы показали, что любое решение системы является корнем исходного уравнения.

Поскольку мы доказали оба утверждения, множества решений уравнения и системы полностью совпадают, а значит, они равносильны.

Ответ: Утверждение доказано.