Номер 30.10, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.10, страница 191.

30.10. Решите уравнение:

а) $\sqrt{\lg (1 - x)} = \sqrt{\lg x}$;

б) $\sqrt{\log_{0,2} \sqrt{x} - 1} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{3 - x}}$;

в) $\sqrt{\log_{0,3} (1 - x)} = \sqrt{\log_{0,3} x}$;

г) $\sqrt{\log_{0,2} \sqrt{x} - 1} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{9 - x}}$.

а)
Дано уравнение $ \sqrt{\lg (1 - x)} = \sqrt{\lg x} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные и подлогарифмические выражения удовлетворяли следующим условиям:
1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $ 1 - x > 0 \implies x < 1 $.
2. Аргумент второго логарифма также должен быть строго больше нуля: $ x > 0 $.
3. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $ \lg (1 - x) \ge 0 $. Так как основание десятичного логарифма $ 10 > 1 $, это неравенство равносильно $ 1 - x \ge 10^0 $, то есть $ 1 - x \ge 1 $. Отсюда $ -x \ge 0 $, что означает $ x \le 0 $.
4. Выражение под вторым знаком корня также должно быть неотрицательным: $ \lg x \ge 0 $. Это неравенство равносильно $ x \ge 10^0 $, то есть $ x \ge 1 $.
Объединим все условия в систему: $ \begin{cases} x < 1 \\ x > 0 \\ x \le 0 \\ x \ge 1 \end{cases} $
Условия $ x > 0 $ и $ x \le 0 $ противоречат друг другу. Также противоречат друг другу условия $ x < 1 $ и $ x \ge 1 $. Система не имеет решений, следовательно, область допустимых значений пуста.
Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б)
Дано уравнение $ \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{x - 1}} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{3 - x}} $.
Найдем ОДЗ. Условия:
1. Аргументы под внутренними корнями должны быть неотрицательны: $ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $ и $ 3 - x \ge 0 \implies x \le 3 $.
2. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $ \sqrt{x - 1} > 0 \implies x - 1 > 0 \implies x > 1 $ и $ \sqrt{3 - x} > 0 \implies 3 - x > 0 \implies x < 3 $.
3. Выражения под внешними корнями должны быть неотрицательны.
$ \log_{0,2} \sqrt{x - 1} \ge 0 $. Так как основание логарифма $ 0,2 < 1 $, логарифмическая функция убывающая. Неравенство равносильно $ 0 < \sqrt{x - 1} \le 1 $. Возводя в квадрат, получаем $ x - 1 \le 1 $, откуда $ x \le 2 $.
$ \log_{0,2} \sqrt{3 - x} \ge 0 $. Аналогично, $ 0 < \sqrt{3 - x} \le 1 $. Возводя в квадрат, получаем $ 3 - x \le 1 $, откуда $ x \ge 2 $.
Соберем все условия в систему: $ \begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \\ x \le 2 \\ x \ge 2 \end{cases} $
Из последних двух неравенств следует, что $ x = 2 $. Это значение удовлетворяет первым двум неравенствам ($ 1 < 2 < 3 $).
Таким образом, ОДЗ состоит из единственного числа $ x = 2 $.
Проверим, является ли $ x = 2 $ решением, подставив его в исходное уравнение:
$ \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{2 - 1}} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{3 - 2}} $
$ \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{1}} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{1}} $
$ \sqrt{\log_{0,2} 1} = \sqrt{\log_{0,2} 1} $
$ \sqrt{0} = \sqrt{0} $, что является верным равенством.
Следовательно, $ x = 2 $ является единственным решением уравнения.
Ответ: $ 2 $.

в)
Дано уравнение $ \sqrt{\log_{0,3} (1 - x)} = \sqrt{\log_{0,3} x} $.
Уравнение вида $ \sqrt{A} = \sqrt{B} $ равносильно системе $ A = B $ и $ A \ge 0 $ (или $ B \ge 0 $).
$ \begin{cases} \log_{0,3} (1 - x) = \log_{0,3} x \\ \log_{0,3} x \ge 0 \end{cases} $
Из первого уравнения, так как логарифмическая функция является монотонной, следует:
$ 1 - x = x \implies 2x = 1 \implies x = 0,5 $.
Теперь подставим найденное значение во второе условие системы, а также проверим ОДЗ логарифмов:
1. Проверка $ \log_{0,3} x \ge 0 $ для $ x = 0,5 $:
$ \log_{0,3} 0,5 \ge 0 $. Так как основание $ 0,3 < 1 $, логарифмическая функция убывающая. Неравенство $ \log_{0,3} 0,5 \ge \log_{0,3} 1 $ равносильно $ 0,5 \le 1 $, что является верным.
2. Проверка ОДЗ самих логарифмов:
$ x > 0 \implies 0,5 > 0 $ (верно).
$ 1 - x > 0 \implies 1 - 0,5 > 0 \implies 0,5 > 0 $ (верно).
Так как $ x = 0,5 $ удовлетворяет и уравнению, и всем ограничениям, это и есть решение.
Ответ: $ 0,5 $.

г)
Дано уравнение $ \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{x - 1}} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{9 - x}} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $ \sqrt{x - 1} > 0 \implies x > 1 $ и $ \sqrt{9 - x} > 0 \implies x < 9 $.
2. Выражения под внешними корнями должны быть неотрицательны.
$ \log_{0,2} \sqrt{x - 1} \ge 0 $. Так как основание $ 0,2 < 1 $, это неравенство равносильно $ 0 < \sqrt{x - 1} \le 1 $. Возведя в квадрат, получаем $ x - 1 \le 1 $, откуда $ x \le 2 $.
$ \log_{0,2} \sqrt{9 - x} \ge 0 $. Аналогично, $ 0 < \sqrt{9 - x} \le 1 $. Возведя в квадрат, получаем $ 9 - x \le 1 $, откуда $ x \ge 8 $.
Объединим все условия в систему: $ \begin{cases} x > 1 \\ x < 9 \\ x \le 2 \\ x \ge 8 \end{cases} $
Условия $ x \le 2 $ и $ x \ge 8 $ не могут выполняться одновременно. Следовательно, система не имеет решений, и область допустимых значений пуста.
Поскольку ОДЗ пуста, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.