Номер 30.13, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.13, страница 191.

Решите уравнение:

30.13. a) $\sqrt{x + 12} = x;$

б) $\sqrt{x^3 + x^2 + 1} = x;$

в) $\sqrt{5 + 12x - x^2} = x - 7;$

г) $\sqrt{x^3 + x^2 - 1} = x.$

а) $\sqrt{x + 12} = x$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 12 \ge 0$, откуда $x \ge -12$.

2. Арифметический квадратный корень (левая часть) не может быть отрицательным, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x + 12})^2 = x^2$
$x + 12 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $1$. Это числа $4$ и $-3$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
- Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.
- Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 \ge 0$, поэтому является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $4$.

б) $\sqrt[3]{x^3 + x^2 + 1} = x$

Это иррациональное уравнение с кубическим корнем. Область определения кубического корня — все действительные числа, поэтому ОДЗ для этого уравнения $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt[3]{x^3 + x^2 + 1})^3 = x^3$
$x^3 + x^2 + 1 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$x^2 + 1 = 0$

Перенесем $1$ в правую часть:
$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

в) $\sqrt{5 + 12x - x^2} = x - 7$

Это иррациональное уравнение. Найдем ОДЗ.

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5 + 12x - x^2 \ge 0$.
Решим неравенство. Найдем корни квадратного трехчлена $-x^2 + 12x + 5 = 0$ (или $x^2 - 12x - 5 = 0$).
Дискриминант $D = 12^2 - 4(1)(-5) = 144 + 20 = 164 = 4 \cdot 41$.
Корни: $x = \frac{12 \pm \sqrt{164}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{41}}{2} = 6 \pm \sqrt{41}$.
Так как ветви параболы $y = -x^2 + 12x + 5$ направлены вниз, неравенство выполняется между корнями: $6 - \sqrt{41} \le x \le 6 + \sqrt{41}$.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x - 7 \ge 0$, откуда $x \ge 7$.

Объединим условия: $\left\{ \begin{array}{l} 6 - \sqrt{41} \le x \le 6 + \sqrt{41} \\ x \ge 7 \end{array} \right.$.
Так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $6 - \sqrt{41}$ — отрицательное число, а $6 + \sqrt{41}$ находится между $12$ и $13$.
ОДЗ: $7 \le x \le 6 + \sqrt{41}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5 + 12x - x^2})^2 = (x - 7)^2$
$5 + 12x - x^2 = x^2 - 14x + 49$

Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 26x + 44 = 0$
Разделим уравнение на $2$:
$x^2 - 13x + 22 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 11$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($7 \le x \le 6 + \sqrt{41}$).
- Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \ge 7$, значит, это посторонний корень.
- Корень $x_2 = 11$. Проверим, удовлетворяет ли он ОДЗ. $11 \ge 7$ (верно). $11 \le 6 + \sqrt{41} \implies 5 \le \sqrt{41} \implies 25 \le 41$ (верно).
Следовательно, $x = 11$ является решением.

Ответ: $11$.

г) $\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 1} = x$

Данное иррациональное уравнение содержит кубический корень. ОДЗ для этого уравнения: $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 1})^3 = x^3$
$x^3 + x^2 - 1 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей:
$x^2 - 1 = 0$

Это разность квадратов:
$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Так как ОДЗ — все действительные числа, оба корня являются решениями. Проведем проверку.
При $x = 1$: $\sqrt[3]{1^3 + 1^2 - 1} = \sqrt[3]{1} = 1$. Правая часть: $x = 1$. Верно.
При $x = -1$: $\sqrt[3]{(-1)^3 + (-1)^2 - 1} = \sqrt[3]{-1 + 1 - 1} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Правая часть: $x = -1$. Верно.

Ответ: $-1; 1$.