Номер 30.6, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.6, страница 190.

30.6. Найдите все действительные значения $a$, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один действительный корень:

а) $\sqrt{x - 4} = 2 - a$;

б) $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 7} = 1 - a$;

в) $\sqrt{16 - x^2} = a + 1$;

г) $\sqrt[5]{1 - 4x - x^2} = a.$

а) $\sqrt{x - 4} = 2 - a$

Для того чтобы данное уравнение имело хотя бы один действительный корень, необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (область определения):
$x - 4 \ge 0$
$x \ge 4$

2. Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$2 - a \ge 0$
$a \le 2$

При выполнении условия $a \le 2$ можно возвести обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - 4})^2 = (2 - a)^2$
$x - 4 = (2 - a)^2$
$x = 4 + (2 - a)^2$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное выражение для $x$ первому условию $x \ge 4$.
Поскольку $(2 - a)^2$ является квадратом действительного числа, оно всегда неотрицательно: $(2 - a)^2 \ge 0$.
Следовательно, $4 + (2 - a)^2 \ge 4$. Условие $x \ge 4$ выполняется для любого $a$.

Таким образом, единственным ограничением для существования действительного корня является условие $a \le 2$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2]$.

б) $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 7} = 1 - a$

Поскольку корень нечетной степени (пятой), он определен для любого действительного значения подкоренного выражения, и его значение может быть любым действительным числом. Поэтому никаких ограничений на переменную $a$ из-за корня не возникает. Найдем множество значений, которые может принимать левая часть уравнения. Для этого исследуем подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 2x - 7$.

Графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координата вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Найдем наименьшее значение функции $f(x)$:
$f_{min} = f(1) = 1^2 - 2(1) - 7 = 1 - 2 - 7 = -8$.

Следовательно, множество значений выражения $x^2 - 2x - 7$ есть промежуток $[-8; +\infty)$.
Функция $g(t) = \sqrt[5]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому множество значений левой части уравнения $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 7}$ есть промежуток $[\sqrt[5]{-8}; +\infty)$, то есть $[-\sqrt[5]{8}; +\infty)$.

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, правая часть $1 - a$ должна принадлежать этому множеству значений:
$1 - a \ge -\sqrt[5]{8}$
$-a \ge -1 - \sqrt[5]{8}$
$a \le 1 + \sqrt[5]{8}$

Ответ: $a \in (-\infty; 1 + \sqrt[5]{8}]$.

в) $\sqrt{16 - x^2} = a + 1$

Рассмотрим это уравнение с точки зрения множества значений. Найдем множество значений функции $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$.

1. Область определения функции задается условием $16 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 16$, то есть $x \in [-4; 4]$.

2. Значение функции $f(x)$ неотрицательно. Наименьшее значение равно 0 при $x = \pm 4$.
Наибольшее значение достигается при $x = 0$ и равно $f(0) = \sqrt{16 - 0^2} = 4$.

Таким образом, множество значений левой части уравнения — это отрезок $[0; 4]$.
Для существования хотя бы одного действительного корня необходимо, чтобы правая часть уравнения $a + 1$ принадлежала этому отрезку:
$0 \le a + 1 \le 4$

Решим эту систему неравенств:
1) $a + 1 \ge 0 \implies a \ge -1$
2) $a + 1 \le 4 \implies a \le 3$

Объединяя эти два условия, получаем: $-1 \le a \le 3$.

Ответ: $a \in [-1; 3]$.

г) $\sqrt[5]{1 - 4x - x^2} = a$

Это уравнение, аналогично пункту б), содержит корень нечетной степени, который определен для любых действительных чисел. Уравнение будет иметь хотя бы один корень, если значение $a$ будет принадлежать множеству значений функции, стоящей в левой части.

Найдем множество значений функции $y = \sqrt[5]{1 - 4x - x^2}$.
Для этого сначала найдем множество значений подкоренного выражения $f(x) = 1 - 4x - x^2$.
Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Свое наибольшее значение она принимает в вершине. Координата вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$.

Наибольшее значение функции $f(x)$:
$f_{max} = f(-2) = 1 - 4(-2) - (-2)^2 = 1 + 8 - 4 = 5$.

Следовательно, множество значений выражения $1 - 4x - x^2$ есть промежуток $(-\infty; 5]$.
Функция $g(t) = \sqrt[5]{t}$ является монотонно возрастающей. Поэтому множество значений левой части уравнения $\sqrt[5]{1 - 4x - x^2}$ есть промежуток $(-\infty; \sqrt[5]{5}]$.

Чтобы уравнение имело корень, значение $a$ должно принадлежать этому множеству:
$a \le \sqrt[5]{5}$

Ответ: $a \in (-\infty; \sqrt[5]{5}]$.