Номер 30.7, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.7, страница 190.

30.7. Докажите, что уравнение $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$ равносильно каждой из систем: $\begin{cases} f(x) = h(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$, $\begin{cases} f(x) = h(x) \\ h(x) \ge 0 \end{cases}$.

Для доказательства того, что уравнение $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$ равносильно каждой из двух предложенных систем, необходимо показать для каждой системы, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением уравнения. Это означает, что множества решений уравнения и каждой из систем совпадают.

$\begin{cases} f(x) = h(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$

Докажем равносильность уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$ и данной системы.

1. Доказательство того, что любое решение уравнения является решением системы.
Пусть $x_0$ — это корень уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h(x_0)}$.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. В частности, для существования левой части уравнения необходимо выполнение условия $f(x_0) \ge 0$. Это второе условие системы.
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, получив равносильное на области определения равенство:$(\sqrt{f(x_0)})^2 = (\sqrt{h(x_0)})^2$, что приводит к $f(x_0) = h(x_0)$. Это первое условие системы.
Таким образом, любое решение уравнения удовлетворяет обоим условиям системы.

2. Доказательство того, что любое решение системы является решением уравнения.
Пусть $x_0$ — это решение системы. Это означает, что при подстановке $x_0$ одновременно выполняются два условия: $f(x_0) = h(x_0)$ и $f(x_0) \ge 0$.
Из этих двух условий напрямую следует, что $h(x_0)$ также неотрицательно, так как $h(x_0) = f(x_0)$, а $f(x_0) \ge 0$.
Поскольку обе части равенства $f(x_0) = h(x_0)$ неотрицательны, мы имеем право извлечь из них арифметический квадратный корень, получая верное равенство $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h(x_0)}$.
Это означает, что $x_0$ является решением исходного уравнения.
Поскольку мы доказали, что множества решений уравнения и системы полностью совпадают, они равносильны.

Ответ: Равносильность доказана.

---

$\begin{cases} f(x) = h(x) \\ h(x) \ge 0 \end{cases}$

Доказательство равносильности уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$ и данной системы аналогично предыдущему.

1. Доказательство того, что любое решение уравнения является решением системы.
Пусть $x_0$ — это корень уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$, то есть $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h(x_0)}$.
По определению арифметического квадратного корня, выражение $\sqrt{h(x_0)}$ определено только при $h(x_0) \ge 0$. Это второе условие системы.
Возведя обе части верного равенства в квадрат, получаем $f(x_0) = h(x_0)$. Это первое условие системы.
Следовательно, любое решение уравнения является и решением системы.

2. Доказательство того, что любое решение системы является решением уравнения.
Пусть $x_0$ — это решение системы. Значит, для $x_0$ верны утверждения: $f(x_0) = h(x_0)$ и $h(x_0) \ge 0$.
Из этих условий следует, что $f(x_0)$ также неотрицательно: $f(x_0) = h(x_0) \ge 0$.
Поскольку и $f(x_0)$, и $h(x_0)$ неотрицательны, из равенства $f(x_0) = h(x_0)$ следует и равенство их арифметических квадратных корней: $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h(x_0)}$.
Это означает, что $x_0$ является решением исходного уравнения.
Таким образом, множества решений уравнения и системы совпадают, что доказывает их равносильность.

Ответ: Равносильность доказана.