Номер 30.11, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.11, страница 191.

30.11. Решите уравнение с параметром a:

a) $\sqrt{x + 2} = \sqrt{2a - x};$

б) $\sqrt{x - 2a} = \sqrt{4 + 2a - 5x};$

в) $\sqrt{5a - 2x + 1} = \sqrt{6x - a - 7};$

г) $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4x + a}.$

а)

Исходное уравнение $\sqrt{x + 2} = \sqrt{2a - x}$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны, и одно из них (любое, обычно более простое) неотрицательно. Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 2 = 2a - x \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$x + x = 2a - 2$

$2x = 2a - 2$

$x = a - 1$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ в неравенство системы, чтобы найти значения параметра $a$, при которых корень существует:

$(a - 1) + 2 \ge 0$

$a + 1 \ge 0$

$a \ge -1$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = a - 1$ при всех значениях $a$, удовлетворяющих условию $a \ge -1$. Если $a < -1$, то решений нет.

Ответ: при $a \ge -1$ корень $x = a - 1$; при $a < -1$ корней нет.

б)

Исходное уравнение $\sqrt{x - 2a} = \sqrt{4 + 2a - 5x}$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 2a = 4 + 2a - 5x \\ x - 2a \ge 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$x + 5x = 4 + 2a + 2a$

$6x = 4 + 4a$

$x = \frac{4 + 4a}{6} = \frac{2(2 + 2a)}{6} = \frac{2 + 2a}{3}$

Подставим найденное выражение для $x$ в неравенство системы:

$\frac{2 + 2a}{3} - 2a \ge 0$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 + 2a - 6a \ge 0$

$2 - 4a \ge 0$

$2 \ge 4a$

$a \le \frac{2}{4}$

$a \le \frac{1}{2}$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{2 + 2a}{3}$ при всех значениях $a \le \frac{1}{2}$. Если $a > \frac{1}{2}$, то решений нет.

Ответ: при $a \le \frac{1}{2}$ корень $x = \frac{2 + 2a}{3}$; при $a > \frac{1}{2}$ корней нет.

в)

Исходное уравнение $\sqrt{5a - 2x + 1} = \sqrt{6x - a - 7}$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 5a - 2x + 1 = 6x - a - 7 \\ 6x - a - 7 \ge 0 \end{cases}$

(Мы выбрали второе подкоренное выражение для неравенства, так как это упростит проверку в дальнейшем).

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$5a + a + 1 + 7 = 6x + 2x$

$6a + 8 = 8x$

$x = \frac{6a + 8}{8} = \frac{2(3a + 4)}{8} = \frac{3a + 4}{4}$

Подставим найденное выражение для $x$ в неравенство системы:

$6\left(\frac{3a + 4}{4}\right) - a - 7 \ge 0$

$\frac{3(3a + 4)}{2} - a - 7 \ge 0$

Умножим обе части на 2:

$3(3a + 4) - 2a - 14 \ge 0$

$9a + 12 - 2a - 14 \ge 0$

$7a - 2 \ge 0$

$7a \ge 2$

$a \ge \frac{2}{7}$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{3a + 4}{4}$ при всех значениях $a \ge \frac{2}{7}$. Если $a < \frac{2}{7}$, то решений нет.

Ответ: при $a \ge \frac{2}{7}$ корень $x = \frac{3a + 4}{4}$; при $a < \frac{2}{7}$ корней нет.

г)

Исходное уравнение $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4x + a}$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4 - x^2 = 4x + a \\ 4 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство $4 - x^2 \ge 0$, чтобы определить область допустимых значений $x$:

$x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$

Теперь преобразуем уравнение системы в квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + 4x + (a - 4) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения, чтобы определить количество корней:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = 16 - 4a + 16 = 32 - 4a$

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$:

$32 - 4a \ge 0 \implies 32 \ge 4a \implies a \le 8$

Если $a > 8$, то $D < 0$, и действительных корней нет.

Если $a \le 8$, то корни уравнения равны:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{32 - 4a}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(8 - a)}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{8 - a}}{2} = -2 \pm \sqrt{8 - a}$

Имеем два потенциальных корня: $x_1 = -2 + \sqrt{8 - a}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{8 - a}$.

Проверим, при каких значениях $a$ (из условия $a \le 8$) эти корни принадлежат отрезку $[-2, 2]$.

1. Для корня $x_1 = -2 + \sqrt{8 - a}$:

Должно выполняться двойное неравенство: $-2 \le -2 + \sqrt{8 - a} \le 2$.

Левая часть: $-2 \le -2 + \sqrt{8 - a} \implies 0 \le \sqrt{8 - a}$. Это верно для всех $a \le 8$.

Правая часть: $-2 + \sqrt{8 - a} \le 2 \implies \sqrt{8 - a} \le 4$. Возводим в квадрат: $8 - a \le 16 \implies -a \le 8 \implies a \ge -8$.

Объединяя условия $a \le 8$ и $a \ge -8$, получаем, что корень $x_1$ является решением при $-8 \le a \le 8$.

2. Для корня $x_2 = -2 - \sqrt{8 - a}$:

Должно выполняться двойное неравенство: $-2 \le -2 - \sqrt{8 - a} \le 2$.

Левая часть: $-2 \le -2 - \sqrt{8 - a} \implies 0 \le -\sqrt{8 - a}$. Это неравенство выполняется только при $\sqrt{8 - a} = 0$, то есть при $a = 8$.

Правая часть: $-2 - \sqrt{8 - a} \le 2 \implies -\sqrt{8 - a} \le 4$, что верно для всех $a \le 8$.

Следовательно, корень $x_2$ является решением только при $a=8$. При этом $x_2 = -2 - \sqrt{8-8} = -2$. Заметим, что при $a=8$ корень $x_1$ также равен $-2$, то есть корни совпадают.

Итог:

• При $a < -8$ или $a > 8$ решений нет.
• При $-8 \le a \le 8$ решением является $x = -2 + \sqrt{8 - a}$.

Ответ: при $a \in [-8, 8]$ корень $x = -2 + \sqrt{8 - a}$; при $a < -8$ или $a > 8$ корней нет.