Номер 29.59, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.59, страница 189.

29.59. Найдите все значения параметра $t$, при которых неравенство $|x+2|+|x-7|+|x+4| \ge t$ выполняется:

а) для любых значений $x$;

б) хотя бы для одного значения $x$;

в) для любых значений $x \le -7$;

г) для любых значений $x \ge -1$.

Для решения задачи введем функцию $f(x) = |x + 2| + |x - 7| + |x + 4|$. Нам необходимо найти все значения параметра $t$, при которых неравенство $f(x) \ge t$ выполняется при различных условиях, наложенных на $x$.

Функция $f(x)$ представляет собой сумму модулей линейных функций. Такая функция является непрерывной и кусочно-линейной. Её "изломы" происходят в точках, где выражения под модулем обращаются в ноль. Найдем эти точки:

• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$
• $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Расположим эти точки на числовой оси: $-4, -2, 7$. Они разбивают ось на четыре интервала. Раскроем модули на каждом из этих интервалов:

1. При $x < -4$: $f(x) = -(x+2) - (x-7) - (x+4) = -3x+1$.
2. При $-4 \le x < -2$: $f(x) = -(x+2) - (x-7) + (x+4) = -x+9$.
3. При $-2 \le x < 7$: $f(x) = (x+2) - (x-7) + (x+4) = x+13$.
4. При $x \ge 7$: $f(x) = (x+2) + (x-7) + (x+4) = 3x-1$.

Проанализируем монотонность функции по знаку углового коэффициента на каждом интервале:

• На $(-\infty, -4)$ функция убывает (коэффициент $-3$).
• На $[-4, -2)$ функция убывает (коэффициент $-1$).
• На $[-2, 7)$ функция возрастает (коэффициент $1$).
• На $[7, \infty)$ функция возрастает (коэффициент $3$).

Функция убывает до точки $x=-2$ и возрастает после нее. Следовательно, в точке $x=-2$ функция достигает своего глобального минимума.

Найдем минимальное значение функции: $f_{min} = f(-2) = |-2+2| + |-2-7| + |-2+4| = |0| + |-9| + |2| = 0+9+2 = 11$.

Теперь решим каждую из поставленных задач.

а) для любых значений x;

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех действительных значений $x$. Это эквивалентно тому, что параметр $t$ должен быть не больше наименьшего значения функции $f(x)$ на всей числовой оси.Поскольку $min_{x \in R} f(x) = 11$, то условие имеет вид $t \le 11$.

Ответ: $t \in (-\infty, 11]$.

б) хотя бы для одного значения x;

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться хотя бы для одного значения $x$. Это означает, что множество решений неравенства не должно быть пустым. Это будет так, если параметр $t$ не превышает максимального (или точной верхней грани) значения функции $f(x)$.

Множество значений функции $f(x)$ — это промежуток $[11, +\infty)$. Точная верхняя грань (супремум) значений функции равна $+\infty$. Для любого действительного числа $t$ всегда найдется значение $x$ (например, достаточно большое по модулю), для которого $f(x) \ge t$. Таким образом, условие выполняется при любом значении $t$.

Ответ: $t \in (-\infty, +\infty)$.

в) для любых значений $x \le -7$;

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех $x$ из промежутка $(-\infty, -7]$. Это значит, что $t$ должно быть не больше наименьшего значения функции $f(x)$ на этом промежутке.

На промежутке $(-\infty, -7]$ (который целиком лежит в области $x < -4$) функция задается формулой $f(x) = -3x+1$. Эта линейная функция является убывающей. Следовательно, ее наименьшее значение на промежутке $(-\infty, -7]$ достигается в его крайней правой точке, то есть при $x=-7$.

Найдем это значение: $f(-7) = -3(-7) + 1 = 21 + 1 = 22$.

Таким образом, $min_{x \le -7} f(x) = 22$. Отсюда получаем условие $t \le 22$.

Ответ: $t \in (-\infty, 22]$.

г) для любых значений $x \ge -1$.

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех $x$ из промежутка $[-1, \infty)$. Это значит, что $t$ должно быть не больше наименьшего значения функции $f(x)$ на этом промежутке.

Промежуток $[-1, \infty)$ расположен правее точки глобального минимума $x=-2$. На всей области $x > -2$ функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, на промежутке $[-1, \infty)$ она также возрастает, и ее наименьшее значение достигается в его крайней левой точке, то есть при $x=-1$.

Найдем это значение: $f(-1) = |-1+2| + |-1-7| + |-1+4| = |1| + |-8| + |3| = 1 + 8 + 3 = 12$.

Таким образом, $min_{x \ge -1} f(x) = 12$. Отсюда получаем условие $t \le 12$.

Ответ: $t \in (-\infty, 12]$.