Номер 29.58, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.58, страница 189.

29.58. Найдите все значения параметра t, при которых неравенство $|x + 2| + |x - 7| \ge t$ выполняется:

а) для любых значений $x$;

б) хотя бы для одного значения $x$;

в) для любых значений $x > 10$;

г) для любых значений $x \le 1$.

Рассмотрим функцию в левой части неравенства: $f(x) = |x + 2| + |x - 7|$. Эта функция представляет собой сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек $-2$ и $7$.

Исследуем эту функцию, раскрыв модули на различных промежутках. Точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль, это $x = -2$ и $x = 7$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

1. При $x < -2$, оба подмодульных выражения отрицательны: $f(x) = -(x + 2) - (x - 7) = -x - 2 - x + 7 = -2x + 5$.

2. При $-2 \le x \le 7$, первое выражение неотрицательно, а второе — неположительно: $f(x) = (x + 2) - (x - 7) = x + 2 - x + 7 = 9$.

3. При $x > 7$, оба подмодульных выражения положительны: $f(x) = (x + 2) + (x - 7) = 2x - 5$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:$f(x) = \begin{cases} -2x + 5, & \text{если } x < -2 \\ 9, & \text{если } -2 \le x \le 7 \\ 2x - 5, & \text{если } x > 7 \end{cases}$

Функция $f(x)$ убывает на $(-\infty, -2)$, постоянна и равна 9 на $[-2, 7]$ и возрастает на $(7, +\infty)$. Минимальное значение функции равно 9, и оно достигается при любом $x \in [-2, 7]$. Область значений функции $E(f) = [9, +\infty)$. Теперь решим каждую из подзадач.

а) для любых значений $x$

Неравенство $|x + 2| + |x - 7| \ge t$, или $f(x) \ge t$, должно выполняться для всех действительных значений $x$. Это означает, что параметр $t$ должен быть не больше минимального значения функции $f(x)$.Как мы выяснили, $\min_{x \in \mathbb{R}} f(x) = 9$.Следовательно, для выполнения условия для любого $x$, необходимо и достаточно, чтобы $t \le 9$.

Ответ: $t \in (-\infty, 9]$.

б) хотя бы для одного значения $x$

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться хотя бы для одного значения $x$. Это означает, что должно существовать такое значение $x_0$, что $f(x_0) \ge t$.Это условие будет выполнено, если значение $t$ не превышает некоторого значения из области значений функции $f(x)$. Область значений функции $f(x)$ — это луч $[9, +\infty)$.Функция $f(x)$ неограничена сверху (например, при $x \to \infty$, $f(x) = 2x - 5 \to \infty$).Следовательно, для любого действительного числа $t$ всегда найдется значение $x$, для которого $f(x) \ge t$. Например, можно взять достаточно большое по модулю $x$.Таким образом, неравенство имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра $t$.

Ответ: $t \in (-\infty, +\infty)$.

в) для любых значений $x > 10$

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех $x > 10$. Это означает, что $t$ должно быть не больше, чем наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $(10, +\infty)$.На промежутке $x > 7$, и в частности при $x > 10$, функция имеет вид $f(x) = 2x - 5$.Эта функция является возрастающей. Следовательно, на интервале $(10, +\infty)$ ее значения больше, чем значение в точке $x=10$.Найдем инфимум (точную нижнюю грань) значений функции на этом интервале:$\inf_{x > 10} f(x) = \lim_{x\to 10^+} (2x - 5) = 2 \cdot 10 - 5 = 15$.Таким образом, для всех $x > 10$ выполняется строгое неравенство $f(x) > 15$.Чтобы неравенство $f(x) \ge t$ выполнялось для всех $x > 10$, необходимо и достаточно, чтобы $t \le 15$.

Ответ: $t \in (-\infty, 15]$.

г) для любых значений $x \le 1$

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех $x \le 1$. Это означает, что $t$ должно быть не больше, чем наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $(-\infty, 1]$.Рассмотрим поведение функции $f(x)$ на этом промежутке.Промежуток $(-\infty, 1]$ включает в себя два участка: $(-\infty, -2)$ и $[-2, 1]$.1. На интервале $(-\infty, -2)$ функция $f(x) = -2x + 5$ убывает. При $x \to -2^-$, $f(x) \to -2(-2) + 5 = 9$. Значит, на этом интервале $f(x) > 9$.2. На отрезке $[-2, 1]$, который является частью отрезка $[-2, 7]$, функция постоянна и равна $f(x) = 9$.Объединяя эти два случая, мы видим, что для любого $x \le 1$ значение функции $f(x) \ge 9$.Наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $(-\infty, 1]$ равно 9.$\min_{x \le 1} f(x) = 9$.Следовательно, чтобы неравенство $f(x) \ge t$ выполнялось для всех $x \le 1$, необходимо и достаточно, чтобы $t \le 9$.

Ответ: $t \in (-\infty, 9]$.