Номер 29.55, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.55, страница 188.

29.55. a) Докажите, что неравенство $|f(x)| + |g(x)| > |f(x) + g(x)|$ равносильно неравенству $f(x) \cdot g(x) < 0$.

б) Докажите, что неравенство $|f(x)| + |g(x)| \le |f(x) + g(x)|$ равносильно неравенству $f(x) \cdot g(x) \ge 0$.

а) Для доказательства равносильности неравенства $|f(x)| + |g(x)| > |f(x) + g(x)|$ и неравенства $f(x) \cdot g(x) < 0$ воспользуемся методом возведения в квадрат. Обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому при возведении обеих частей в квадрат знак неравенства сохранится.

$$(|f(x)| + |g(x)|)^2 > |f(x) + g(x)|^2$$

Раскроем скобки. Используем свойство модуля $|a|^2 = a^2$.

$$|f(x)|^2 + 2|f(x)||g(x)| + |g(x)|^2 > (f(x) + g(x))^2$$

$$f(x)^2 + 2|f(x) \cdot g(x)| + g(x)^2 > f(x)^2 + 2f(x)g(x) + g(x)^2$$

Вычтем из обеих частей $f(x)^2 + g(x)^2$:

$$2|f(x) \cdot g(x)| > 2f(x)g(x)$$

Разделим обе части на 2:

$$|f(x) \cdot g(x)| > f(x)g(x)$$

Пусть $y = f(x) \cdot g(x)$. Неравенство принимает вид $|y| > y$. Это неравенство справедливо тогда и только тогда, когда $y$ — отрицательное число. Если $y \geq 0$, то $|y| = y$, и мы получаем $y > y$, что неверно. Если $y < 0$, то $|y| = -y$, и мы получаем $-y > y$, что равносильно $0 > 2y$, или $y < 0$, что верно. Следовательно, неравенство $|f(x) \cdot g(x)| > f(x)g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot g(x) < 0$. Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство равносильно неравенству $f(x) \cdot g(x) < 0$.

Ответ: Доказано.

б) Для доказательства равносильности неравенства $|f(x)| + |g(x)| \leq |f(x) + g(x)|$ и неравенства $f(x) \cdot g(x) \geq 0$ воспользуемся известным неравенством треугольника, которое гласит, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо $|a| + |b| \geq |a+b|$.

В нашем случае, $a=f(x)$ и $b=g(x)$, поэтому всегда выполняется $|f(x)| + |g(x)| \geq |f(x) + g(x)|$. Сравнивая это неравенство с доказываемым $|f(x)| + |g(x)| \leq |f(x) + g(x)|$, мы видим, что оба могут быть истинными только в случае равенства:

$$|f(x)| + |g(x)| = |f(x) + g(x)|$$

Таким образом, доказываемое неравенство равносильно этому равенству. Теперь докажем, что это равенство равносильно $f(x) \cdot g(x) \geq 0$. Возведем обе части равенства в квадрат (обе части неотрицательны):

$$(|f(x)| + |g(x)|)^2 = |f(x) + g(x)|^2$$

Раскроем скобки, используя $|a|^2 = a^2$:

$$|f(x)|^2 + 2|f(x)||g(x)| + |g(x)|^2 = (f(x) + g(x))^2$$

$$f(x)^2 + 2|f(x) \cdot g(x)| + g(x)^2 = f(x)^2 + 2f(x)g(x) + g(x)^2$$

Вычтем из обеих частей $f(x)^2 + g(x)^2$:

$$2|f(x) \cdot g(x)| = 2f(x)g(x)$$

$$|f(x) \cdot g(x)| = f(x)g(x)$$

Пусть $y = f(x) \cdot g(x)$. Равенство принимает вид $|y| = y$. Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда $y$ — неотрицательное число. Если $y \geq 0$, то $|y| = y$, что верно. Если $y < 0$, то $|y| = -y$, и мы получаем $-y = y$, что означает $2y=0$ или $y=0$, что противоречит условию $y<0$. Следовательно, равенство $|f(x) \cdot g(x)| = f(x)g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot g(x) \geq 0$. Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство равносильно неравенству $f(x) \cdot g(x) \geq 0$.

Ответ: Доказано.