Номер 29.52, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.52, страница 188.

29.52. a) $|2x - 1| + |6x - 3| < 12;$

б) $|12x + 4| + |9x + 3| < 28.$

а) $|2x - 1| + |6x - 3| < 12$

Заметим, что выражение во втором модуле можно упростить, вынеся общий множитель 3 за скобки:

$|6x - 3| = |3(2x - 1)|$

Используя свойство модуля $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$, получаем:

$|3(2x - 1)| = |3| \cdot |2x - 1| = 3|2x - 1|$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное неравенство:

$|2x - 1| + 3|2x - 1| < 12$

Сложим подобные слагаемые в левой части:

$4|2x - 1| < 12$

Разделим обе части неравенства на 4:

$|2x - 1| < 3$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 < 2x - 1 < 3$

Чтобы найти $x$, сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-3 + 1 < 2x < 3 + 1$

$-2 < 2x < 4$

Теперь разделим все части неравенства на 2:

$\frac{-2}{2} < x < \frac{4}{2}$

$-1 < x < 2$

Таким образом, решением является интервал от -1 до 2.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.

б) $|12x + 4| + |9x + 3| < 28$

Упростим выражения в каждом модуле, вынеся общие множители:

Для первого модуля: $|12x + 4| = |4(3x + 1)| = |4| \cdot |3x + 1| = 4|3x + 1|$

Для второго модуля: $|9x + 3| = |3(3x + 1)| = |3| \cdot |3x + 1| = 3|3x + 1|$

Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:

$4|3x + 1| + 3|3x + 1| < 28$

Сложим подобные слагаемые:

$7|3x + 1| < 28$

Разделим обе части неравенства на 7:

$|3x + 1| < 4$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-4 < 3x + 1 < 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-4 - 1 < 3x < 4 - 1$

$-5 < 3x < 3$

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{5}{3} < x < \frac{3}{3}$

$-\frac{5}{3} < x < 1$

Решением является интервал от $-\frac{5}{3}$ до 1.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}; 1)$.