Номер 29.47, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.47, страница 187.

29.47. a) $|x^2 + 7x - 7| \le 2x + 7;$

б) $|-x^2 + 5x + 1| \le x^2 + 6x + 1;$

в) $|5 - 4x - x^2| < 7 - 6x - x^2;$

г) $|x^3 - x^2 - 4x - 2| \le -x^2 - 3x - 2.$

а) $|x^2 + 7x - 7| \le 2x + 7$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 7 \ge 0 \\ -(2x + 7) \le x^2 + 7x - 7 \le 2x + 7 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство системы:

$2x + 7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$.

2. Решим двойное неравенство, разбив его на два:

$\begin{cases} x^2 + 7x - 7 \le 2x + 7 \\ x^2 + 7x - 7 \ge -(2x + 7) \end{cases}$

Решаем первое неравенство из этой системы:

$x^2 + 7x - 7 - 2x - 7 \le 0$

$x^2 + 5x - 14 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 14$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in [-7, 2]$.

Решаем второе неравенство из этой системы:

$x^2 + 7x - 7 \ge -2x - 7$

$x^2 + 9x \ge 0$

$x(x + 9) \ge 0$

Корни уравнения $x(x+9)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -9$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -9] \cup [0, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений с условием $x \ge -3.5$.

Пересечение решений двух неравенств: $x \in [-7, 2] \cap ((-\infty, -9] \cup [0, \infty)) \implies x \in [0, 2]$.

Теперь учтем условие $x \ge -3.5$: $x \in [0, 2] \cap [-3.5, \infty) \implies x \in [0, 2]$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

б) $|-x^2 + 5x + 1| \le x^2 + 6x + 1$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 6x + 1 \ge 0 \\ -(x^2 + 6x + 1) \le -x^2 + 5x + 1 \le x^2 + 6x + 1 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство системы: $x^2 + 6x + 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 1 = 0$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 32$. Корни $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -3-2\sqrt{2}] \cup [-3+2\sqrt{2}, \infty)$.

2. Решим двойное неравенство:

$\begin{cases} -x^2 + 5x + 1 \le x^2 + 6x + 1 \\ -x^2 + 5x + 1 \ge -(x^2 + 6x + 1) \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$0 \le 2x^2 + x \implies x(2x+1) \ge 0$. Решение: $x \in (-\infty, -1/2] \cup [0, \infty)$.

Решаем второе неравенство:

$-x^2 + 5x + 1 \ge -x^2 - 6x - 1 \implies 11x \ge -2 \implies x \ge -2/11$.

3. Найдем пересечение решений.

Пересечение решений двух неравенств: $x \in ((-\infty, -1/2] \cup [0, \infty)) \cap [-2/11, \infty)$.

Так как $-1/2 = -0.5$ и $-2/11 \approx -0.18$, то $-1/2 < -2/11$. Пересечением будет $x \in [0, \infty)$.

Теперь учтем ОДЗ $x \in (-\infty, -3-2\sqrt{2}] \cup [-3+2\sqrt{2}, \infty)$.

Так как $-3+2\sqrt{2} \approx -0.17 < 0$, пересечением $x \in [0, \infty)$ с этим множеством будет $x \in [0, \infty)$.

Ответ: $x \in [0, \infty)$.

в) $|5 - 4x - x^2| < 7 - 6x - x^2$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} 7 - 6x - x^2 > 0 \\ -(7 - 6x - x^2) < 5 - 4x - x^2 < 7 - 6x - x^2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $7 - 6x - x^2 > 0 \implies x^2 + 6x - 7 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$ это $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.

Решение неравенства: $x \in (-7, 1)$.

2. Решим двойное неравенство:

$\begin{cases} 5 - 4x - x^2 < 7 - 6x - x^2 \\ 5 - 4x - x^2 > -(7 - 6x - x^2) \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$5 - 4x < 7 - 6x \implies 2x < 2 \implies x < 1$.

Решаем второе неравенство:

$5 - 4x - x^2 > -7 + 6x + x^2 \implies 0 > 2x^2 + 10x - 12 \implies x^2 + 5x - 6 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$ это $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.

Решение неравенства: $x \in (-6, 1)$.

3. Пересечение решений:

$x \in (-7, 1) \cap (-\infty, 1) \cap (-6, 1) \implies x \in (-6, 1)$.

Ответ: $x \in (-6, 1)$.

г) $|x^3 - x^2 - 4x - 2| \le -x^2 - 3x - 2$

Левая часть неравенства $|x^3 - x^2 - 4x - 2|$ всегда неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть также должна быть неотрицательной.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$-x^2 - 3x - 2 \ge 0 \implies x^2 + 3x + 2 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Решение неравенства: $x \in [-2, -1]$.

2. На этой ОДЗ исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^3 - x^2 - 4x - 2 \le -x^2 - 3x - 2 \\ x^3 - x^2 - 4x - 2 \ge -(-x^2 - 3x - 2) \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$x^3 - x \le 0 \implies x(x^2 - 1) \le 0 \implies x(x-1)(x+1) \le 0$.

Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$.

Решаем второе неравенство:

$x^3 - x^2 - 4x - 2 \ge x^2 + 3x + 2 \implies x^3 - 2x^2 - 7x - 4 \ge 0$.

Заметим, что $x = -1$ является корнем многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 - 7x - 4$.

Разделив $P(x)$ на $(x+1)$, получим $x^2 - 3x - 4$. Корни этого квадратного трехчлена: $x = 4$ и $x = -1$.

Таким образом, $P(x) = (x+1)(x+1)(x-4) = (x+1)^2(x-4)$.

Неравенство принимает вид $(x+1)^2(x-4) \ge 0$.

Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для всех $x$, неравенство выполняется при $x-4 \ge 0$ или при $x = -1$.

Решение: $x \in \{-1\} \cup [4, \infty)$.

3. Найдем пересечение всех полученных решений:

ОДЗ: $x \in [-2, -1]$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$.

Решение второго неравенства: $x \in \{-1\} \cup [4, \infty)$.

Пересечение всех трех множеств дает единственную точку $x = -1$.

Ответ: $\{-1\}$.