Номер 29.40, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.40, страница 186.

29.40. a) Докажите, что неравенство $|f(x)| \ge f(x)$ выполняется для любого $x$ из области определения выражения $f(x).

б) Докажите, что неравенство $|f(x)| > f(x)$ равносильно неравенству $f(x) < 0$.

а)

Для доказательства неравенства $|f(x)| \ge f(x)$ рассмотрим два возможных случая для значения выражения $f(x)$ для любого $x$ из его области определения.

Случай 1: $f(x) \ge 0$ (выражение неотрицательно).
По определению модуля, если число неотрицательно, его модуль равен самому числу. Таким образом, $|f(x)| = f(x)$.
Подставив это в исходное неравенство, получаем $f(x) \ge f(x)$. Это неравенство является верным тождеством (в частности, выполняется как равенство), поэтому оно справедливо для всех $x$, при которых $f(x) \ge 0$.

Случай 2: $f(x) < 0$ (выражение отрицательно).
По определению модуля, если число отрицательно, его модуль равен противоположному ему числу. Таким образом, $|f(x)| = -f(x)$.
Так как $f(x) < 0$, то $-f(x) > 0$. Значит, $|f(x)|$ является положительным числом.
Исходное неравенство принимает вид: $|f(x)| \ge f(x)$.
В данном случае мы сравниваем положительное число $|f(x)|$ и отрицательное число $f(x)$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому неравенство $|f(x)| > f(x)$ строго выполняется, а значит, нестрогое неравенство $|f(x)| \ge f(x)$ также выполняется.

Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи для значения $f(x)$, и в каждом из них неравенство $|f(x)| \ge f(x)$ оказалось верным, мы доказали, что оно выполняется для любого $x$ из области определения выражения $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что неравенство $|f(x)| > f(x)$ равносильно неравенству $f(x) < 0$, нужно показать, что множества решений этих двух неравенств совпадают. Для этого докажем два утверждения:

1. Если $f(x) < 0$, то $|f(x)| > f(x)$.
2. Если $|f(x)| > f(x)$, то $f(x) < 0$.

Доказательство утверждения 1:
Пусть $f(x) < 0$. По определению модуля для отрицательного числа, $|f(x)| = -f(x)$.
Поскольку $f(x)$ — отрицательное число, то $-f(x)$ — положительное число.
Неравенство $|f(x)| > f(x)$ превращается в сравнение положительного числа ($-f(x)$) и отрицательного числа ($f(x)$). Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, неравенство $-f(x) > f(x)$ всегда верно при $f(x) < 0$.

Доказательство утверждения 2:
Пусть $|f(x)| > f(x)$. Проверим, каким может быть знак $f(x)$.
Предположим, что $f(x) \ge 0$. В этом случае, по определению модуля, $|f(x)| = f(x)$.
Подставив это в неравенство $|f(x)| > f(x)$, получим $f(x) > f(x)$. Это неравенство ложно при любом значении $f(x)$.
Следовательно, наше предположение о том, что $f(x) \ge 0$, неверно. Единственная оставшаяся возможность для знака $f(x)$ — это $f(x) < 0$.

Таким образом, мы показали, что неравенство $|f(x)| > f(x)$ выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) < 0$. Это означает, что данные неравенства равносильны.

Ответ: Что и требовалось доказать.