Номер 29.35, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.35, страница 185.

29.35. Решите неравенство:

а) $|x - \frac{4}{x}| < 3;$

б) $|x - \frac{4}{x}| \cdot |\frac{x}{x - 2}| < 7;$

в) $|\frac{x}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 1}| < \frac{1}{2};$

г) $|\frac{x}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 1}| \cdot |\frac{x - 1}{5x + 4}| < \frac{1}{10}.$

а)

Исходное неравенство: $|\ x - \frac{4}{x}\ | < 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

$-3 < x - \frac{4}{x} < 3$
Это эквивалентно системе из двух неравенств: $$ \begin{cases} x - \frac{4}{x} < 3 \\ x - \frac{4}{x} > -3 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:
$x - \frac{4}{x} - 3 < 0$
$\frac{x^2 - 3x - 4}{x} < 0$
$\frac{(x-4)(x+1)}{x} < 0$
Решая методом интервалов, находим нули числителя (-1, 4) и знаменателя (0). На числовой оси это дает интервалы. Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 4)$.

2. Решим второе неравенство:
$x - \frac{4}{x} + 3 > 0$
$\frac{x^2 + 3x - 4}{x} > 0$
$\frac{(x+4)(x-1)}{x} > 0$
Решая методом интервалов, находим нули числителя (-4, 1) и знаменателя (0). Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-4, 0) \cup (1, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений системы:
$x \in ((-\infty, -1) \cup (0, 4)) \cap ((-4, 0) \cup (1, +\infty))$
Пересечение дает нам два интервала: $(-4, -1)$ и $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (-4, -1) \cup (1, 4)$.

б)

Исходное неравенство: $|\ x - \frac{4}{x}\ | \cdot |\frac{x}{x-2}| < 7$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Используем свойство модуля $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$:

$|\ (x - \frac{4}{x}) \cdot \frac{x}{x-2}\ | < 7$
Упростим выражение внутри модуля:

$(x - \frac{4}{x}) \cdot \frac{x}{x-2} = \frac{x^2 - 4}{x} \cdot \frac{x}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x} \cdot \frac{x}{x-2}$
С учетом ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 2$), выражение упрощается до $x+2$.

Неравенство принимает вид: $|x+2| < 7$.
Решаем его:

$-7 < x+2 < 7$
$-9 < x < 5$

Учитываем ОДЗ, исключая точки 0 и 2 из полученного интервала.

Ответ: $x \in (-9, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 5)$.

в)

Исходное неравенство: $|\ \frac{x}{x+2} - \frac{x+2}{x-1}\ | < \frac{1}{2}$.
ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 1$.
Упростим выражение в модуле:

$\frac{x}{x+2} - \frac{x+2}{x-1} = \frac{x(x-1) - (x+2)^2}{(x+2)(x-1)} = \frac{x^2 - x - (x^2 + 4x + 4)}{(x+2)(x-1)} = \frac{-5x - 4}{(x+2)(x-1)}$

Неравенство принимает вид: $|\frac{-5x - 4}{(x+2)(x-1)}| < \frac{1}{2}$, что равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{-5x - 4}{(x+2)(x-1)} < \frac{1}{2} \\ \frac{-5x - 4}{(x+2)(x-1)} > -\frac{1}{2} \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:
$\frac{-5x - 4}{(x+2)(x-1)} - \frac{1}{2} < 0 \implies \frac{2(-5x-4) - (x^2+x-2)}{2(x+2)(x-1)} < 0 \implies \frac{-x^2-11x-6}{2(x+2)(x-1)} < 0$
$\frac{x^2+11x+6}{(x+2)(x-1)} > 0$
Корни числителя $x^2+11x+6=0$ равны $x = \frac{-11 \pm \sqrt{97}}{2}$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, \frac{-11 - \sqrt{97}}{2}) \cup (-2, \frac{-11 + \sqrt{97}}{2}) \cup (1, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:
$\frac{-5x - 4}{(x+2)(x-1)} + \frac{1}{2} > 0 \implies \frac{2(-5x-4) + (x^2+x-2)}{2(x+2)(x-1)} > 0 \implies \frac{x^2-9x-10}{(x+2)(x-1)} > 0$
$\frac{(x-10)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0$
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1) \cup (10, +\infty)$.

3. Находим пересечение полученных решений.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{-11 - \sqrt{97}}{2}) \cup (-1, \frac{-11 + \sqrt{97}}{2}) \cup (10, +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $|\ \frac{x}{x+2} - \frac{x+2}{x-1}\ | \cdot |\frac{x-1}{5x+4}| < \frac{1}{10}$.
ОДЗ: $x \neq -2$, $x \neq 1$, $x \neq -\frac{4}{5}$.
Используем свойство модуля $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$:

$|\ (\frac{x}{x+2} - \frac{x+2}{x-1}) \cdot \frac{x-1}{5x+4}\ | < \frac{1}{10}$
Из пункта в) мы знаем, что $\frac{x}{x+2} - \frac{x+2}{x-1} = \frac{-(5x+4)}{(x+2)(x-1)}$. Подставим это:

$|\ \frac{-(5x+4)}{(x+2)(x-1)} \cdot \frac{x-1}{5x+4}\ | < \frac{1}{10}$
С учетом ОДЗ ($x \neq 1, x \neq -4/5$), выражение под модулем сокращается до $\frac{-1}{x+2}$.

Неравенство принимает вид: $|\frac{-1}{x+2}| < \frac{1}{10}$ или $\frac{1}{|x+2|} < \frac{1}{10}$.
Так как обе части положительны, можно перевернуть дроби, изменив знак неравенства:
$|x+2| > 10$

Это неравенство равносильно совокупности:
$x+2 > 10$ или $x+2 < -10$
$x > 8$ или $x < -12$

Полученное решение не содержит точек из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -12) \cup (8, +\infty)$.