Номер 29.32, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.32, страница 185.

Решите неравенство:

29.32. а) $x^2 - 4|x| + 3 > 0$;

б) $(x^2 - 3x)^2 + |3x - x^2| - 20 \le 0$;

в) $(x - 2)^2 - 4|x - 2| - 96 < 0$;

г) $(x^2 - 5x)^2 - 5|5x - x^2| - 6 \ge 0$.

а) Исходное неравенство: $x^2 - 4|x| + 3 > 0$. Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому неравенство можно переписать в виде: $|x|^2 - 4|x| + 3 > 0$. Введем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, $t \ge 0$. Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - 4t + 3 > 0$. Для решения найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Графиком функции $y = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны при $t$ находящемся вне отрезка между корнями, то есть при $t < 1$ или $t > 3$. Учитывая ограничение $t \ge 0$, получаем совокупность двух систем: 1) $0 \le t < 1$, что соответствует $0 \le |x| < 1$. Решением этого двойного неравенства является интервал $-1 < x < 1$. 2) $t > 3$, что соответствует $|x| > 3$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x < -3$ или $x > 3$. Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ. Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 1) \cup (3, +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $(x^2 - 3x)^2 + |3x - x^2| - 20 \le 0$. Воспользуемся свойствами модуля: $|a-b| = |b-a|$ и $a^2 = |a|^2$. Тогда $|3x - x^2| = |x^2 - 3x|$ и $(x^2 - 3x)^2 = |x^2 - 3x|^2$. Неравенство принимает вид: $|x^2 - 3x|^2 + |x^2 - 3x| - 20 \le 0$. Введем замену: пусть $t = |x^2 - 3x|$, при этом $t \ge 0$. Получаем неравенство: $t^2 + t - 20 \le 0$. Найдем корни уравнения $t^2 + t - 20 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$. Решением неравенства является отрезок $[-5, 4]$. С учетом условия $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 4$. Выполним обратную замену: $0 \le |x^2 - 3x| \le 4$. Это равносильно двойному неравенству $-4 \le x^2 - 3x \le 4$, которое можно представить в виде системы: $\begin{cases} x^2 - 3x \le 4 \\ x^2 - 3x \ge -4 \end{cases}$ 1) Решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 4 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = 4, x_2 = -1$. Решение неравенства: $x \in [-1, 4]$. 2) Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 4 \ge 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, парабола $y=x^2-3x+4$ целиком находится выше оси Ox, следовательно, неравенство выполняется для всех действительных $x$. Пересечение решений системы дает окончательный ответ. Ответ: $x \in [-1, 4]$.

в) Исходное неравенство: $(x - 2)^2 - 4|x - 2| - 96 < 0$. Используя свойство $(x - 2)^2 = |x - 2|^2$, перепишем неравенство: $|x - 2|^2 - 4|x - 2| - 96 < 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x - 2|$, где $t \ge 0$. Получаем: $t^2 - 4t - 96 < 0$. Найдем корни уравнения $t^2 - 4t - 96 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(1)(-96) = 16 + 384 = 400 = 20^2$. Корни $t_1 = \frac{4+20}{2} = 12$ и $t_2 = \frac{4-20}{2} = -8$. Решением неравенства является интервал $-8 < t < 12$. Учитывая, что $t \ge 0$, получаем $0 \le t < 12$. Вернемся к переменной $x$: $0 \le |x - 2| < 12$. Это неравенство равносильно $|x - 2| < 12$. Раскрываем модуль, получаем двойное неравенство: $-12 < x - 2 < 12$. Прибавим 2 ко всем частям: $-12 + 2 < x < 12 + 2$, что дает $-10 < x < 14$. Ответ: $x \in (-10, 14)$.

г) Исходное неравенство: $(x^2 - 5x)^2 - 5|5x - x^2| - 6 \ge 0$. Используя свойства $|a-b|=|b-a|$ и $a^2=|a|^2$, преобразуем неравенство: $|x^2 - 5x|^2 - 5|x^2 - 5x| - 6 \ge 0$. Введем замену: пусть $t = |x^2 - 5x|$, где $t \ge 0$. Получим неравенство: $t^2 - 5t - 6 \ge 0$. Найдем корни уравнения $t^2 - 5t - 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$. Решением неравенства является объединение промежутков: $t \le -1$ или $t \ge 6$. С учетом условия $t \ge 0$, остается только $t \ge 6$. Выполним обратную замену: $|x^2 - 5x| \ge 6$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: 1) $x^2 - 5x \ge 6$ 2) $x^2 - 5x \le -6$ Решим первое неравенство: $x^2 - 5x - 6 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ равны $x_1 = 6, x_2 = -1$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [6, +\infty)$. Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $x_1 = 2, x_2 = 3$. Решение: $x \in [2, 3]$. Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ. Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, 3] \cup [6, +\infty)$.