Номер 29.27, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.27, страница 184.

29.27. a) $\left|x+2\right| < -7;$

б) $\left|x+8\right| > 2-\sqrt{7};$

В) $\left|x+5\right| < -2+\sqrt{7};$

Г) $\left|x+5\right| > 3,14-\pi.$

а) $|x + 2| < -7$

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что для любого значения $x$ выражение $|x + 2|$ будет больше или равно нулю: $|x + 2| \ge 0$.

В данном неравенстве требуется, чтобы неотрицательное значение $|x + 2|$ было строго меньше отрицательного числа $-7$. Это невозможно, так как любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа.

Следовательно, у этого неравенства нет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

б) $|x + 8| > 2 - \sqrt{7}$

Для решения этого неравенства сначала оценим знак выражения в правой части: $2 - \sqrt{7}$.

Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Поскольку $4 < 7 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{7} < 3$.

Следовательно, разность $2 - \sqrt{7}$ является отрицательным числом.

Левая часть неравенства, $|x + 8|$, по определению модуля, всегда неотрицательна ($|x + 8| \ge 0$) для любого действительного $x$. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, неравенство выполняется при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in (-\infty; +\infty)$).

в) $|x + 5| < -2 + \sqrt{7}$

Сначала оценим знак выражения в правой части: $-2 + \sqrt{7}$.

Как мы установили в предыдущем пункте, $\sqrt{7} > 2$, поэтому разность $\sqrt{7} - 2$ (или $-2 + \sqrt{7}$) является положительным числом.

Неравенство вида $|A| < c$, где $c$ — положительное число, равносильно двойному неравенству $-c < A < c$.

Применяя это правило, получаем:

$-(-2 + \sqrt{7}) < x + 5 < -2 + \sqrt{7}$

$2 - \sqrt{7} < x + 5 < \sqrt{7} - 2$

Чтобы найти $x$, вычтем 5 из всех частей двойного неравенства:

$2 - \sqrt{7} - 5 < x < \sqrt{7} - 2 - 5$

$-3 - \sqrt{7} < x < \sqrt{7} - 7$

Решением является интервал.

Ответ: $x \in (-3 - \sqrt{7}; \sqrt{7} - 7)$.

г) $|x + 5| > 3,14 - \pi$

Оценим знак выражения в правой части неравенства: $3,14 - \pi$.

Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число, значение которого приблизительно равно $3,14159...$. Так как $3,14 < \pi$, разность $3,14 - \pi$ является отрицательным числом.

Левая часть неравенства, $|x + 5|$, по определению модуля, всегда неотрицательна ($|x + 5| \ge 0$) для любого $x$. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, данное неравенство верно для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in (-\infty; +\infty)$).