Номер 29.23, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.23, страница 183.

29.23. Докажите, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = |f(x) + h(x)|$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) \ge 0$.

Для доказательства того, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = |f(x) + h(x)|$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) \geq 0$, мы воспользуемся методом равносильных преобразований.

Рассмотрим исходное уравнение: $$ |f(x)| + |h(x)| = |f(x) + h(x)| $$

Поскольку обе части этого уравнения неотрицательны (так как модуль числа и сумма модулей всегда $\geq 0$), мы можем возвести их в квадрат. Это преобразование является равносильным для неотрицательных выражений. $$ (|f(x)| + |h(x)|)^2 = (|f(x) + h(x)|)^2 $$

Раскроем скобки в левой и правой частях, используя свойства модуля $|a|^2 = a^2$ и $|a| \cdot |b| = |ab|$.
Левая часть: $$ (|f(x)| + |h(x)|)^2 = |f(x)|^2 + 2|f(x)||h(x)| + |h(x)|^2 = f(x)^2 + 2|f(x)h(x)| + h(x)^2 $$ Правая часть: $$ (|f(x) + h(x)|)^2 = (f(x) + h(x))^2 = f(x)^2 + 2f(x)h(x) + h(x)^2 $$

Приравниваем полученные выражения: $$ f(x)^2 + 2|f(x)h(x)| + h(x)^2 = f(x)^2 + 2f(x)h(x) + h(x)^2 $$

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковые слагаемые $f(x)^2$ и $h(x)^2$: $$ 2|f(x)h(x)| = 2f(x)h(x) $$ Разделим обе части на 2, что является равносильным преобразованием: $$ |f(x)h(x)| = f(x)h(x) $$

По определению модуля, равенство вида $|A| = A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то есть $A \geq 0$. В нашем случае $A = f(x) \cdot h(x)$, следовательно, полученное уравнение равносильно неравенству: $$ f(x) \cdot h(x) \geq 0 $$

Таким образом, мы построили цепочку равносильных преобразований, которая связывает исходное уравнение с итоговым неравенством. Это доказывает их равносильность.

Ответ: Утверждение доказано.