Номер 29.17, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.17, страница 182.

29.17. a) $|1 + \log_2 x| + |1 - \sqrt{2x}| = 0;$

б) $|\log_5 (2x^3 - x) + \log_2 x| + \left|\frac{x - 1}{x^2 + 1}\right| = 0.$

а) $|1 + \log_2 x| + |1 - \sqrt{2x}| = 0$

Сумма двух неотрицательных чисел (модулей) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 1 + \log_2 x = 0 \\ 1 - \sqrt{2x} = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$1 + \log_2 x = 0$

$\log_2 x = -1$

$x = 2^{-1}$

$x = \frac{1}{2}$

Решим второе уравнение системы:

$1 - \sqrt{2x} = 0$

$\sqrt{2x} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Оба уравнения системы имеют один и тот же корень $x = \frac{1}{2}$.

Проверим область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражение под логарифмом должно быть положительным, а выражение под корнем — неотрицательным:

$\begin{cases} x > 0 \\ 2x \ge 0 \end{cases} \implies x > 0$

Найденный корень $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $|\log_5 (2x^3 - x) + \log_2 x| + |\frac{x-1}{x^2+1}| = 0$

Аналогично пункту а), сумма модулей равна нулю, если выражения под каждым из модулей равны нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \log_5 (2x^3 - x) + \log_2 x = 0 \\ \frac{x-1}{x^2+1} = 0 \end{cases}$

Начнем с решения второго, более простого уравнения. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Знаменатель $x^2 + 1$ всегда больше нуля при любом действительном $x$ ($x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1$), поэтому он никогда не равен нулю.

Таким образом, единственное решение второго уравнения — $x = 1$.

Теперь подставим это значение в первое уравнение системы, чтобы проверить, является ли оно его корнем:

$\log_5 (2(1)^3 - 1) + \log_2 (1) = \log_5 (2 - 1) + \log_2 (1) = \log_5 (1) + \log_2 (1) = 0 + 0 = 0$

Равенство выполняется. Значит, $x=1$ является решением системы.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ 2x^3 - x > 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство: $x(2x^2 - 1) > 0$.

Так как из первого неравенства мы знаем, что $x > 0$, то для выполнения второго неравенства достаточно, чтобы $2x^2 - 1 > 0$.

$2x^2 > 1$

$x^2 > \frac{1}{2}$

Учитывая, что $x>0$, получаем $x > \sqrt{\frac{1}{2}}$ или $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Итак, ОДЗ: $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=1$ этому условию. Так как $1 > \frac{1}{2}$, то $1 > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Условие выполняется.

Ответ: $1$