Номер 29.14, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.14, страница 182.

29.14. a) $|x - 5| + 4|x| = 17;$

б) $2|x - 5| - |x + 6| = 7;$

в) $|x + 10| - 2|x - 10| = 11;$

г) $3|4x - 5| = 2|-x| + 1.$

а) $|x - 5| + 4|x| = 17$

Для решения уравнения раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от знака выражений под модулем. Точки, в которых выражения под модулем равны нулю: $x-5=0 \implies x=5$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $[0; 5)$ и $[5; +\infty)$.

1. При $x < 0$:
Оба выражения под модулем отрицательны: $x-5 < 0$ и $x < 0$.
$|x-5| = -(x-5) = 5-x$
$|x| = -x$
Уравнение принимает вид:
$(5-x) + 4(-x) = 17$
$5 - x - 4x = 17$
$5 - 5x = 17$
$-5x = 12$
$x = -12/5 = -2.4$
Значение $x = -2.4$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является корнем.

2. При $0 \le x < 5$:
$x-5 < 0$, а $x \ge 0$.
$|x-5| = -(x-5) = 5-x$
$|x| = x$
Уравнение принимает вид:
$(5-x) + 4x = 17$
$5 + 3x = 17$
$3x = 12$
$x = 4$
Значение $x=4$ удовлетворяет условию $0 \le x < 5$, следовательно, является корнем.

3. При $x \ge 5$:
Оба выражения под модулем неотрицательны: $x-5 \ge 0$ и $x > 0$.
$|x-5| = x-5$
$|x| = x$
Уравнение принимает вид:
$(x-5) + 4x = 17$
$5x - 5 = 17$
$5x = 22$
$x = 22/5 = 4.4$
Значение $x=4.4$ не удовлетворяет условию $x \ge 5$, следовательно, не является корнем.

Ответ: $x = -2.4; x = 4$.

б) $2|x - 5| - |x + 6| = 7$

Находим нули подмодульных выражений: $x-5=0 \implies x=5$ и $x+6=0 \implies x=-6$. Рассматриваем три интервала: $(-\infty; -6)$, $[-6; 5)$ и $[5; +\infty)$.

1. При $x < -6$:
$x-5 < 0$ и $x+6 < 0$.
$|x-5| = -(x-5) = 5-x$
$|x+6| = -(x+6) = -x-6$
Уравнение принимает вид:
$2(5-x) - (-x-6) = 7$
$10 - 2x + x + 6 = 7$
$16 - x = 7$
$x = 9$
Значение $x=9$ не удовлетворяет условию $x < -6$.

2. При $-6 \le x < 5$:
$x-5 < 0$, а $x+6 \ge 0$.
$|x-5| = -(x-5) = 5-x$
$|x+6| = x+6$
Уравнение принимает вид:
$2(5-x) - (x+6) = 7$
$10 - 2x - x - 6 = 7$
$4 - 3x = 7$
$-3x = 3$
$x = -1$
Значение $x=-1$ удовлетворяет условию $-6 \le x < 5$, следовательно, является корнем.

3. При $x \ge 5$:
$x-5 \ge 0$ и $x+6 > 0$.
$|x-5| = x-5$
$|x+6| = x+6$
Уравнение принимает вид:
$2(x-5) - (x+6) = 7$
$2x - 10 - x - 6 = 7$
$x - 16 = 7$
$x = 23$
Значение $x=23$ удовлетворяет условию $x \ge 5$, следовательно, является корнем.

Ответ: $x = -1; x = 23$.

в) $|x + 10| - 2|x - 10| = 11$

Нули подмодульных выражений: $x+10=0 \implies x=-10$ и $x-10=0 \implies x=10$. Рассматриваем три интервала: $(-\infty; -10)$, $[-10; 10)$ и $[10; +\infty)$.

1. При $x < -10$:
$x+10 < 0$ и $x-10 < 0$.
$|x+10| = -(x+10) = -x-10$
$|x-10| = -(x-10) = 10-x$
Уравнение принимает вид:
$(-x-10) - 2(10-x) = 11$
$-x - 10 - 20 + 2x = 11$
$x - 30 = 11$
$x = 41$
Значение $x=41$ не удовлетворяет условию $x < -10$.

2. При $-10 \le x < 10$:
$x+10 \ge 0$, а $x-10 < 0$.
$|x+10| = x+10$
$|x-10| = -(x-10) = 10-x$
Уравнение принимает вид:
$(x+10) - 2(10-x) = 11$
$x + 10 - 20 + 2x = 11$
$3x - 10 = 11$
$3x = 21$
$x = 7$
Значение $x=7$ удовлетворяет условию $-10 \le x < 10$, следовательно, является корнем.

3. При $x \ge 10$:
$x+10 > 0$ и $x-10 \ge 0$.
$|x+10| = x+10$
$|x-10| = x-10$
Уравнение принимает вид:
$(x+10) - 2(x-10) = 11$
$x + 10 - 2x + 20 = 11$
$-x + 30 = 11$
$-x = -19$
$x = 19$
Значение $x=19$ удовлетворяет условию $x \ge 10$, следовательно, является корнем.

Ответ: $x = 7; x = 19$.

г) $3|4x - 5| = 2|-x| + 1$

Сначала упростим уравнение, используя свойство $|-x|=|x|$:
$3|4x - 5| = 2|x| + 1$
Нули подмодульных выражений: $4x-5=0 \implies x=5/4$ и $x=0$. Рассматриваем три интервала: $(-\infty; 0)$, $[0; 5/4)$ и $[5/4; +\infty)$.

1. При $x < 0$:
$4x-5 < 0$ и $x < 0$.
$|4x-5| = -(4x-5) = 5-4x$
$|x| = -x$
Уравнение принимает вид:
$3(5-4x) = 2(-x) + 1$
$15 - 12x = -2x + 1$
$14 = 10x$
$x = 1.4$
Значение $x=1.4$ не удовлетворяет условию $x < 0$.

2. При $0 \le x < 5/4$:
$4x-5 < 0$, а $x \ge 0$.
$|4x-5| = -(4x-5) = 5-4x$
$|x| = x$
Уравнение принимает вид:
$3(5-4x) = 2x + 1$
$15 - 12x = 2x + 1$
$14 = 14x$
$x = 1$
Значение $x=1$ удовлетворяет условию $0 \le x < 5/4$ (так как $5/4 = 1.25$), следовательно, является корнем.

3. При $x \ge 5/4$:
$4x-5 \ge 0$ и $x > 0$.
$|4x-5| = 4x-5$
$|x| = x$
Уравнение принимает вид:
$3(4x-5) = 2x + 1$
$12x - 15 = 2x + 1$
$10x = 16$
$x = 1.6$
Значение $x=1.6$ удовлетворяет условию $x \ge 5/4$ (так как $1.6 > 1.25$), следовательно, является корнем.

Ответ: $x = 1; x = 1.6$.