Номер 29.11, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.11, страница 181.

29.11. a) $ | \cos x | = \sin x; $

б) $ | \cos 3x | = -\cos x; $

В) $ | \sin 2x | = \cos x; $

Г) $ | \sin 5x | = -\sin x. $

а)

Дано уравнение $|\cos x| = \sin x$.

По определению модуля, значение в левой части уравнения неотрицательно, следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной. Получаем условие:$\sin x \ge 0$.Это соответствует углам $x$, находящимся в I и II координатных четвертях: $2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $|\cos x| = \sin x$ равносильно совокупности двух уравнений при выполнении условия $\sin x \ge 0$:

1) $\cos x = \sin x$.Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Поэтому можно разделить обе части на $\cos x \ne 0$:$\tan x = 1$.Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x \ge 0$:- если $k = 2n$ (четное), то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. $\sin(\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$. Эти корни подходят.- если $k = 2n+1$ (нечетное), то $x = \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. $\sin(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Эти корни не подходят.Таким образом, из этого случая получаем решения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -\sin x$.Аналогично, делим на $\cos x \ne 0$:$\tan x = -1$.Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x \ge 0$:- если $k = 2n$ (четное), то $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. $\sin(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$. Эти корни подходят.- если $k = 2n+1$ (нечетное), то $x = \frac{3\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$. $\sin(\frac{7\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Эти корни не подходят.Таким образом, из этого случая получаем решения $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $|\cos 3x| = -\cos x$.

Из определения модуля следует, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной:$-\cos x \ge 0 \implies \cos x \le 0$.Это соответствует углам $x$, находящимся во II и III координатных четвертях: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\cos 3x = -\cos x \implies \cos 3x + \cos x = 0$.Используем формулу суммы косинусов: $2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 0 \implies 2\cos 2x \cos x = 0$.Отсюда либо $\cos x = 0$, либо $\cos 2x = 0$.- $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Эти значения удовлетворяют условию $\cos x \le 0$.- $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Проверим условие $\cos x \le 0$. - При $k=4m$: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi m$, $\cos x>0$. Не подходит. - При $k=4m+1$: $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m$, $\cos x<0$. Подходит. - При $k=4m+2$: $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m$, $\cos x<0$. Подходит. - При $k=4m+3$: $x=\frac{7\pi}{4}+2\pi m$, $\cos x>0$. Не подходит. Получаем серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

2) $\cos 3x = -(-\cos x) \implies \cos 3x = \cos x \implies \cos 3x - \cos x = 0$.Используем формулу разности косинусов: $-2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 0 \implies -2\sin 2x \sin x = 0$.Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $\sin 2x = 0$.- $\sin x = 0 \implies x = \pi k$. Проверим условие $\cos x \le 0$. - При $k=2n$ (четное): $x=2\pi n$, $\cos x=1>0$. Не подходит. - При $k=2n+1$ (нечетное): $x=\pi+2\pi n$, $\cos x=-1<0$. Подходит. Получаем серию $x = \pi + 2\pi n$.- $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$. Серия $x=\pi k$ является подмножеством этой. Новые корни появляются при нечетных $k$. Это серия $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, которая уже найдена в первом случае ($\cos x = 0$).

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pi + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $|\sin 2x| = \cos x$.

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:$\cos x \ge 0$.Это соответствует углам $x$, находящимся в I и IV координатных четвертях: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\sin 2x = \cos x$.$2\sin x \cos x - \cos x = 0 \implies \cos x(2\sin x - 1) = 0$.- $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Эти значения удовлетворяют условию $\cos x \ge 0$.- $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$. Решения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. - Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Подходит. - Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Не подходит.

2) $\sin 2x = -\cos x$.$2\sin x \cos x + \cos x = 0 \implies \cos x(2\sin x + 1) = 0$.- $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Решения уже найдены.- $2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$. Решения: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$. - Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Подходит. - Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Не подходит.

Объединяем все решения. Серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ можно записать как $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $|\sin 5x| = -\sin x$.

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:$-\sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0$.Это соответствует углам $x$, находящимся в III и IV координатных четвертях: $\pi + 2\pi n \le x \le 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при выполнении условия $\sin x \le 0$:

1) $\sin 5x = -\sin x \implies \sin 5x + \sin x = 0$.По формуле суммы синусов: $2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 0 \implies 2\sin 3x \cos 2x = 0$.Получаем две серии решений: $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$ и $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

2) $\sin 5x = -(-\sin x) \implies \sin 5x = \sin x \implies \sin 5x - \sin x = 0$.По формуле разности синусов: $2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2} = 0 \implies 2\sin 2x \cos 3x = 0$.Получаем две серии решений: $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$ и $\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

Теперь отберем корни из всех четырех серий, удовлетворяющие условию $\sin x \le 0$.

• Из $x = \frac{\pi k}{3}$: подходят $x=\pi+2\pi n$, $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$, $x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$, $x=2\pi+2\pi n$. Вместе это $x=\pi n$, $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$, $x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$.
• Из $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$: подходят $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.
• Из $x = \frac{\pi k}{2}$: подходят $x=\pi+2\pi n$, $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$, $x=2\pi+2\pi n$. Новые решения: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Остальные уже найдены.
• Из $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$: подходят $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$. Новые: $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n$.

Объединяем все уникальные серии решений.

Ответ: $x = \pi n, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.