Номер 29.7, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.7, страница 181.

29.7. Докажите, что уравнение $|f(x)| = h(x)$ равносильно системе

$$\text{теме}\left\{\begin{array}{l} f(x) = h(x), \\ f(x) = -h(x), \end{array}\right.$$

$$h(x) \ge 0.$$

Для доказательства равносильности уравнения $|f(x)| = h(x)$ и системы $ \begin{cases} \left[ \begin{aligned} f(x) = h(x) \\ f(x) = -h(x) \end{aligned} \right. \\ h(x) \ge 0 \end{cases} $ необходимо показать, что множества их решений совпадают. То есть, любое решение уравнения является решением системы, и любое решение системы является решением уравнения.

1. Докажем, что любое решение уравнения является решением системы.

Пусть $x_0$ — корень уравнения, то есть $|f(x_0)| = h(x_0)$.

По определению модуля, значение $|f(x_0)|$ является неотрицательным, то есть $|f(x_0)| \ge 0$. Из равенства следует, что и правая часть $h(x_0)$ также должна быть неотрицательной: $h(x_0) \ge 0$. Это соответствует неравенству в системе.

Далее, по определению модуля, равенство $|A| = B$ при условии, что $B \ge 0$, эквивалентно совокупности уравнений $A = B$ или $A = -B$. Применительно к нашему случаю, это означает, что $f(x_0) = h(x_0)$ или $f(x_0) = -h(x_0)$. Это в точности соответствует совокупности уравнений в системе.

Таким образом, мы показали, что любой корень исходного уравнения удовлетворяет всем условиям системы.

2. Докажем, что любое решение системы является решением уравнения.

Пусть $x_0$ — решение системы. Это означает, что для $x_0$ одновременно выполняются два условия: $h(x_0) \ge 0$ и совокупность уравнений ($f(x_0) = h(x_0)$ или $f(x_0) = -h(x_0)$).

Рассмотрим оба случая, вытекающие из совокупности:

• Если $f(x_0) = h(x_0)$. Возьмём модуль от обеих частей этого равенства: $|f(x_0)| = |h(x_0)|$. Так как по условию системы $h(x_0) \ge 0$, то $|h(x_0)| = h(x_0)$. Следовательно, мы получаем $|f(x_0)| = h(x_0)$.

• Если $f(x_0) = -h(x_0)$. Возьмём модуль от обеих частей: $|f(x_0)| = |-h(x_0)|$. Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем $|f(x_0)| = |h(x_0)|$. И снова, поскольку $h(x_0) \ge 0$, имеем $|h(x_0)| = h(x_0)$. Следовательно, $|f(x_0)| = h(x_0)$.

В обоих возможных случаях мы приходим к выводу, что $x_0$ является решением уравнения $|f(x)| = h(x)$.

Поскольку мы доказали, что множества решений уравнения и системы полностью совпадают, они являются равносильными.

Ответ: Что и требовалось доказать.