Номер 28.59, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.59, страница 180.

28.59. При каких значениях параметра $a$ ни одно решение неравенства $x + 3^x - 2^a - 9^a < 0$ не является решением неравенства $\frac{x-3a-1}{x-5a+3} < 0$?

Условие задачи состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых множество решений первого неравенства не пересекается с множеством решений второго неравенства.

Обозначим множество решений неравенства $x + 3^x - 2a - 9^a < 0$ как $M_1$, а множество решений неравенства $\frac{x - 3a - 1}{x - 5a + 3} < 0$ как $M_2$. Задача сводится к нахождению таких $a$, при которых $M_1 \cap M_2 = \emptyset$.

1. Найдем множество решений первого неравенства.

Рассмотрим неравенство $x + 3^x - 2a - 9^a < 0$. Перепишем его в виде $x + 3^x < 2a + 9^a$.

Введем функцию $f(x) = x + 3^x$. Ее производная $f'(x) = 1 + 3^x \ln 3$.

Так как $3^x > 0$ и $\ln 3 > 0$, то $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Заметим, что значение $f(x)$ при $x=2a$ равно правой части неравенства:

$f(2a) = 2a + 3^{2a} = 2a + (3^2)^a = 2a + 9^a$.

Таким образом, исходное неравенство можно записать в виде $f(x) < f(2a)$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастающая, это неравенство равносильно неравенству $x < 2a$.

Следовательно, множество решений первого неравенства есть интервал $M_1 = (-\infty; 2a)$.

2. Найдем множество решений второго неравенства.

Рассмотрим неравенство $\frac{x - 3a - 1}{x - 5a + 3} < 0$.

Решим его методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$x_1 = 3a + 1$

$x_2 = 5a - 3$

Решением неравенства является интервал между точками $x_1$ и $x_2$. Чтобы определить, какая из точек больше, найдем их разность:

$x_1 - x_2 = (3a + 1) - (5a - 3) = 4 - 2a = 2(2 - a)$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака этого выражения:

• Случай а) $a < 2$. В этом случае $2(2-a) > 0$, значит $x_1 > x_2$. Решением неравенства будет интервал $M_2 = (x_2; x_1) = (5a - 3; 3a + 1)$.
• Случай б) $a > 2$. В этом случае $2(2-a) < 0$, значит $x_1 < x_2$. Решением неравенства будет интервал $M_2 = (x_1; x_2) = (3a + 1; 5a - 3)$.
• Случай в) $a = 2$. В этом случае $x_1 = x_2 = 7$. Неравенство принимает вид $\frac{x-7}{x-7} < 0$, что при $x \neq 7$ равносильно $1 < 0$. Это неверно, поэтому при $a=2$ второе неравенство не имеет решений, то есть $M_2 = \emptyset$.

3. Найдем значения $a$, при которых $M_1 \cap M_2 = \emptyset$.

Теперь для каждого из трех случаев найдем, при каких $a$ пересечение множеств $M_1 = (-\infty; 2a)$ и $M_2$ будет пустым.

• Случай а) $a < 2$. Здесь $M_2 = (5a - 3; 3a + 1)$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ будет пустым, если правая граница интервала $M_1$ будет меньше или равна левой границе интервала $M_2$:

  $2a \le 5a - 3$

  $3 \le 3a$

  $a \ge 1$

  С учетом условия $a < 2$, получаем для этого случая $a \in [1; 2)$.

• Случай б) $a = 2$. Здесь $M_2 = \emptyset$. Пересечение любого множества с пустым множеством пусто ($M_1 \cap \emptyset = \emptyset$). Значит, $a=2$ является решением.
• Случай в) $a > 2$. Здесь $M_2 = (3a + 1; 5a - 3)$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ будет пустым, если правая граница $M_1$ будет меньше или равна левой границе $M_2$:

  $2a \le 3a + 1$

  $-1 \le a$

  $a \ge -1$

  С учетом условия $a > 2$, все значения из этого промежутка удовлетворяют условию $a \ge -1$. Таким образом, все $a \in (2; +\infty)$ являются решениями.

4. Объединим полученные результаты.

Условию задачи удовлетворяют значения $a$ из следующих промежутков:

$[1; 2) \cup \{2\} \cup (2; +\infty)$.

Объединение этих множеств дает итоговый промежуток $[1; +\infty)$.

Ответ: $a \in [1; +\infty)$.