Номер 28.58, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.58, страница 180.

28.58. a) $(x^2 + 8x + 15)\log_{0,5} \left(1 + \cos^2 \frac{\pi x}{4}\right) \ge 1;$

б) $(10x - x^2 - 24)\log_5 \left(4 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1\right) \ge 1.$

а) Решим неравенство $(x^2 + 8x + 15)\log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4})) \geq 1$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части неравенства отдельно.

Первый множитель: $f(x) = x^2 + 8x + 15$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее наименьшее значение. Координата вершины параболы $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. Значение функции в вершине: $f(-4) = (-4)^2 + 8(-4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 + 8x + 15 \ge -1$.

Второй множитель: $g(x) = \log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4}))$.

Оценим выражение под знаком логарифма. Область значений функции $y=\cos^2(\alpha)$ — это отрезок $[0, 1]$.

Следовательно, $0 \le \cos^2(\frac{\pi x}{4}) \le 1$.

Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $1 \le 1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4}) \le 2$.

Логарифмическая функция $y = \log_{0,5}t$ является убывающей, так как ее основание $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$. Применяя логарифм к полученному двойному неравенству, меняем знаки неравенства:

$\log_{0,5}2 \le \log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4})) \le \log_{0,5}1$.

Поскольку $\log_{0,5}2 = -1$ и $\log_{0,5}1 = 0$, получаем оценку для второго множителя: $-1 \le \log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4})) \le 0$.

Итак, исходное неравенство имеет вид $f(x) \cdot g(x) \ge 1$, где $f(x) \ge -1$ и $g(x) \in [-1, 0]$.

Произведение $f(x)g(x)$ должно быть не меньше 1. Так как $g(x) \le 0$, для выполнения неравенства $f(x)g(x) \ge 1$ необходимо, чтобы множитель $f(x)$ был также неположительным. Если $g(x) = 0$, то $0 \ge 1$, что неверно. Значит $g(x) < 0$, и, следовательно, $f(x) < 0$.

Мы имеем произведение двух отрицательных чисел, при этом $f(x) \ge -1$ и $g(x) \ge -1$. Произведение двух таких чисел может быть больше или равно 1 только в том случае, если оба они равны -1. То есть $-f(x) \le 1$ и $-g(x) \le 1$, а их произведение $(-f(x))(-g(x)) \ge 1$ возможно только при $(-f(x))=1$ и $(-g(x))=1$.

Следовательно, исходное неравенство равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 8x + 15 = -1 \\ \log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4})) = -1 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x+4)^2 = 0$

$x = -4$.

Проверим, является ли $x=-4$ решением второго уравнения. Подставим это значение:

$\log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi(-4)}{4})) = \log_{0,5}(1 + \cos^2(-\pi)) = \log_{0,5}(1 + (-1)^2) = \log_{0,5}(1+1) = \log_{0,5}2 = -1$.

Равенство верно. Таким образом, $x = -4$ является единственным решением системы и исходного неравенства.

Ответ: $x = -4$.

б) Решим неравенство $(10x - x^2 - 24)\log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1) \ge 1$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части неравенства отдельно.

Первый множитель: $f(x) = 10x - x^2 - 24$. Это квадратичная функция $f(x) = -(x^2 - 10x + 24)$, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее наибольшее значение. Координата вершины параболы $x_v = - \frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$. Значение функции в вершине: $f(5) = 10(5) - 5^2 - 24 = 50 - 25 - 24 = 1$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $10x - x^2 - 24 \le 1$.

Второй множитель: $g(x) = \log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1)$.

Оценим выражение под знаком логарифма. Область значений функции $y=\sin^2(\alpha)$ — это отрезок $[0, 1]$.

Следовательно, $0 \le \sin^2(\frac{\pi x}{2}) \le 1$.

Умножая на 4, получаем $0 \le 4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) \le 4$.

Прибавляя 1 ко всем частям, получаем $1 \le 4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1 \le 5$.

Логарифмическая функция $y = \log_{5}t$ является возрастающей, так как ее основание $5 > 1$. Применяя логарифм к полученному двойному неравенству, получаем:

$\log_{5}1 \le \log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1) \le \log_{5}5$.

Поскольку $\log_{5}1 = 0$ и $\log_{5}5 = 1$, получаем оценку для второго множителя: $0 \le \log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1) \le 1$.

Итак, исходное неравенство имеет вид $f(x) \cdot g(x) \ge 1$, где $f(x) \le 1$ и $g(x) \in [0, 1]$.

Произведение $f(x)g(x)$ должно быть не меньше 1. Пусть $A=f(x)$ и $B=g(x)$. Мы имеем $A \le 1$ и $0 \le B \le 1$. Необходимо, чтобы $A \cdot B \ge 1$.

Если $B < 1$, то для выполнения $A \cdot B \ge 1$ требуется $A \ge \frac{1}{B} > 1$, что противоречит условию $A \le 1$.

Значит, единственная возможность — это $B = 1$. Тогда неравенство принимает вид $A \cdot 1 \ge 1$, то есть $A \ge 1$. Учитывая условие $A \le 1$, получаем, что $A = 1$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 10x - x^2 - 24 = 1 \\ \log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1) = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$10x - x^2 - 25 = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x-5)^2 = 0$

$x = 5$.

Проверим, является ли $x=5$ решением второго уравнения. Подставим это значение:

$\log_{5}(4\sin^2(\frac{5\pi}{2}) + 1)$.

Так как $\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то $\sin^2(\frac{5\pi}{2}) = 1^2 = 1$.

Выражение принимает вид: $\log_{5}(4 \cdot 1 + 1) = \log_{5}5 = 1$.

Равенство верно. Таким образом, $x = 5$ является единственным решением системы и исходного неравенства.

Ответ: $x = 5$.