Номер 29.3, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.3, страница 180.

29.3. a) $\left| \frac{x + 1}{x - 3} \right| = 1;$

б) $\left| \frac{4x - 5}{4x + 1} \right| = 4;$

в) $\left| \frac{2x + 5}{2 - x} \right| = 2;$

г) $\left| \frac{2 - 3x}{3 + x} \right| = 3.$

а)

Дано уравнение: $|\frac{x+1}{x-3}| = 1$.
Уравнение вида $|A| = c$ (где $c \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = c$ или $A = -c$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Рассмотрим два случая:
1) $\frac{x+1}{x-3} = 1$
$x + 1 = 1 \cdot (x - 3)$
$x + 1 = x - 3$
$1 = -3$
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

2) $\frac{x+1}{x-3} = -1$
$x + 1 = -1 \cdot (x - 3)$
$x + 1 = -x + 3$
$x + x = 3 - 1$
$2x = 2$
$x = 1$

Найденный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq 3$).
Ответ: 1.

б)

Дано уравнение: $|\frac{4x-5}{4x+1}| = 4$.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии, что знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $4x + 1 \neq 0$, следовательно, $4x \neq -1$, $x \neq -\frac{1}{4}$.

Рассмотрим два случая:
1) $\frac{4x-5}{4x+1} = 4$
$4x - 5 = 4(4x + 1)$
$4x - 5 = 16x + 4$
$4x - 16x = 4 + 5$
$-12x = 9$
$x = -\frac{9}{12} = -\frac{3}{4}$

2) $\frac{4x-5}{4x+1} = -4$
$4x - 5 = -4(4x + 1)$
$4x - 5 = -16x - 4$
$4x + 16x = -4 + 5$
$20x = 1$
$x = \frac{1}{20}$

Оба корня $x_1 = -\frac{3}{4}$ и $x_2 = \frac{1}{20}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -\frac{1}{4}$).
Ответ: $-\frac{3}{4}; \frac{1}{20}$.

в)

Дано уравнение: $|\frac{2x+5}{2-x}| = 2$.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии, что знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $2 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Рассмотрим два случая:
1) $\frac{2x+5}{2-x} = 2$
$2x + 5 = 2(2 - x)$
$2x + 5 = 4 - 2x$
$2x + 2x = 4 - 5$
$4x = -1$
$x = -\frac{1}{4}$

2) $\frac{2x+5}{2-x} = -2$
$2x + 5 = -2(2 - x)$
$2x + 5 = -4 + 2x$
$5 = -4$
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Найденный корень $x = -\frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г)

Дано уравнение: $|\frac{2-3x}{3+x}| = 3$.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии, что знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $3 + x \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Рассмотрим два случая:
1) $\frac{2-3x}{3+x} = 3$
$2 - 3x = 3(3 + x)$
$2 - 3x = 9 + 3x$
$-3x - 3x = 9 - 2$
$-6x = 7$
$x = -\frac{7}{6}$

2) $\frac{2-3x}{3+x} = -3$
$2 - 3x = -3(3 + x)$
$2 - 3x = -9 - 3x$
$2 = -9$
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Найденный корень $x = -\frac{7}{6}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: $-\frac{7}{6}$.