Номер 28.56, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.56, страница 179.

28.56. a) $\sqrt{4 - \log_{0,5} x} < \sqrt{\log_2 x - 1} + \sqrt{6 - \log_8 x^3}$;

б) $\sqrt{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{x}} \le \sqrt{\log_3 243x} - \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \frac{27}{x}}$.

а)

Исходное неравенство: $ \sqrt{4 - \log_{0.5} x} < \sqrt{\log_2 x - 1} + \sqrt{6 - \log_8 x^3} $.

Для решения приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $ и свойство $ \log_{1/a} b = -\log_a b $.

$ \log_{0.5} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x $

$ \log_8 x^3 = \log_{2^3} x^3 = \frac{3}{3} \log_2 x = \log_2 x $

Введем замену переменной: пусть $ t = \log_2 x $. Тогда неравенство принимает вид:

$ \sqrt{4 - (-t)} < \sqrt{t - 1} + \sqrt{6 - t} $

$ \sqrt{4 + t} < \sqrt{t - 1} + \sqrt{6 - t} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} 4 + t \ge 0 \\ t - 1 \ge 0 \\ 6 - t \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t \ge -4 \\ t \ge 1 \\ t \le 6 \end{cases} $

Пересечение этих трех условий дает нам ОДЗ для $t$: $ t \in [1, 6] $.

На этой области обе части неравенства $ \sqrt{4 + t} < \sqrt{t - 1} + \sqrt{6 - t} $ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{4 + t})^2 < (\sqrt{t - 1} + \sqrt{6 - t})^2 $

$ 4 + t < (t - 1) + 2\sqrt{(t - 1)(6 - t)} + (6 - t) $

$ 4 + t < t + 5 + 2\sqrt{-t^2 + 6t + t - 6} $

$ t - 1 < 2\sqrt{-t^2 + 7t - 6} $

В области $ t \in [1, 6] $ левая часть $ t - 1 $ неотрицательна. Если $t=1$, неравенство принимает вид $0 < 0$, что ложно. Следовательно, $t > 1$. При $ t > 1 $ обе части неравенства положительны, и можно снова возвести их в квадрат:

$ (t - 1)^2 < \left(2\sqrt{-t^2 + 7t - 6}\right)^2 $

$ t^2 - 2t + 1 < 4(-t^2 + 7t - 6) $

$ t^2 - 2t + 1 < -4t^2 + 28t - 24 $

$ 5t^2 - 30t + 25 < 0 $

Разделим обе части на 5:

$ t^2 - 6t + 5 < 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 - 6t + 5 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 5 $. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $ t^2 - 6t + 5 < 0 $ выполняется на интервале между корнями: $ 1 < t < 5 $.

Теперь необходимо учесть ОДЗ для $t$, которое мы нашли ранее: $ t \in [1, 6] $. Пересечение решения $ (1, 5) $ с ОДЗ $ [1, 6] $ дает нам итоговый интервал для $t$: $ 1 < t < 5 $.

Выполним обратную замену $ t = \log_2 x $:

$ 1 < \log_2 x < 5 $

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, и мы можем потенцировать неравенство:

$ 2^1 < x < 2^5 $

$ 2 < x < 32 $

Ответ: $ (2, 32) $.

б)

Исходное неравенство: $ \sqrt{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{x}} \le \sqrt{\log_3 243x} - \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \frac{27}{x}} $.

Приведем все логарифмические выражения к основанию 3:

$ \log_{\sqrt{3}} \sqrt{x} = \log_{3^{1/2}} x^{1/2} = \frac{1/2}{1/2} \log_3 x = \log_3 x $

$ \log_3 243x = \log_3(3^5 \cdot x) = \log_3 3^5 + \log_3 x = 5 + \log_3 x $

$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{27}{x} = \log_{3^{-1}} \left(\frac{27}{x}\right) = -\log_3\left(\frac{27}{x}\right) = -(\log_3 27 - \log_3 x) = -(3 - \log_3 x) = \log_3 x - 3 $

Введем замену переменной: пусть $ y = \log_3 x $. Неравенство примет вид:

$ \sqrt{y} \le \sqrt{5 + y} - \sqrt{y - 3} $

Найдем ОДЗ для переменной $y$. Выражения под корнями должны быть неотрицательны:

$ \begin{cases} y \ge 0 \\ 5 + y \ge 0 \\ y - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge 0 \\ y \ge -5 \\ y \ge 3 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ y \ge 3 $.

Для удобства решения перенесем член с отрицательным знаком в левую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными:

$ \sqrt{y} + \sqrt{y - 3} \le \sqrt{5 + y} $

На ОДЗ $ y \ge 3 $ обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:

$ (\sqrt{y} + \sqrt{y - 3})^2 \le (\sqrt{5 + y})^2 $

$ y + 2\sqrt{y(y-3)} + (y - 3) \le 5 + y $

$ 2y - 3 + 2\sqrt{y^2 - 3y} \le 5 + y $

$ y - 8 + 2\sqrt{y^2 - 3y} \le 0 $

$ 2\sqrt{y^2 - 3y} \le 8 - y $

Левая часть этого неравенства всегда неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть также должна быть неотрицательной: $ 8 - y \ge 0 \implies y \le 8 $.

Совмещая это условие с ОДЗ ($ y \ge 3 $), получаем, что дальнейшее решение ищем на отрезке $ y \in [3, 8] $. На этом отрезке обе части неравенства $ 2\sqrt{y^2 - 3y} \le 8 - y $ неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$ 4(y^2 - 3y) \le (8 - y)^2 $

$ 4y^2 - 12y \le 64 - 16y + y^2 $

$ 3y^2 + 4y - 64 \le 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ 3y^2 + 4y - 64 = 0 $:

$ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-64) = 16 + 768 = 784 = 28^2 $

$ y_{1,2} = \frac{-4 \pm 28}{2 \cdot 3} \implies y_1 = \frac{-32}{6} = -\frac{16}{3}, \quad y_2 = \frac{24}{6} = 4 $.

Решением неравенства $ 3y^2 + 4y - 64 \le 0 $ является отрезок $ [-\frac{16}{3}, 4] $.

Найдем пересечение этого решения с ранее установленным ограничением $ y \in [3, 8] $:

$ \left[-\frac{16}{3}, 4\right] \cap [3, 8] = [3, 4] $

Таким образом, для $y$ получили решение $ 3 \le y \le 4 $. Выполним обратную замену $ y = \log_3 x $:

$ 3 \le \log_3 x \le 4 $

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$ 3^3 \le x \le 3^4 $

$ 27 \le x \le 81 $

Ответ: $ [27, 81] $.