Номер 28.54, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.54, страница 179.

28.54. a) $\sqrt{\sin x - 1} \le 4 - x^2$;

б) $\sqrt{\cos x - 1} \ge x^2 - 49$.

а) $\sqrt{\sin x - 1} \le 4 - x^2$

1. Найдем область определения левой части неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\sin x - 1 \ge 0$
$\sin x \ge 1$
Так как максимальное значение функции синуса равно 1, это неравенство выполняется только в том случае, когда $\sin x = 1$.
При этом левая часть неравенства обращается в ноль: $\sqrt{1 - 1} = 0$.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \sin x = 1 \\ 0 \le 4 - x^2 \end{cases}$

3. Решим первое уравнение системы:
$\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Решим второе неравенство системы:
$0 \le 4 - x^2$
$x^2 \le 4$
$-2 \le x \le 2$

5. Теперь найдем, какие из решений уравнения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ удовлетворяют условию $-2 \le x \le 2$.
Подставим различные целые значения $k$:
- При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 1.57$. Это значение удовлетворяет условию $-2 \le 1.57 \le 2$.
- При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Это значение не входит в промежуток $[-2, 2]$.
- При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Это значение не входит в промежуток $[-2, 2]$.
При других целых значениях $k$ корни также не будут попадать в искомый промежуток.

Следовательно, единственным решением является $x = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $\sqrt{\cos x - 1} \ge x^2 - 49$

1. Найдем область определения левой части неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\cos x - 1 \ge 0$
$\cos x \ge 1$
Так как максимальное значение функции косинуса равно 1, это неравенство выполняется только в том случае, когда $\cos x = 1$.
При этом левая часть неравенства обращается в ноль: $\sqrt{1 - 1} = 0$.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \cos x = 1 \\ 0 \ge x^2 - 49 \end{cases}$

3. Решим первое уравнение системы:
$\cos x = 1$
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Решим второе неравенство системы:
$0 \ge x^2 - 49$
$x^2 \le 49$
$-7 \le x \le 7$

5. Теперь найдем, какие из решений уравнения $x = 2\pi k$ удовлетворяют условию $-7 \le x \le 7$.
Подставим различные целые значения $k$:
- При $k = 0$, $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $-7 \le 0 \le 7$.
- При $k = 1$, $x = 2\pi$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 6.28$. Это значение удовлетворяет условию $-7 \le 6.28 \le 7$.
- При $k = -1$, $x = -2\pi \approx -6.28$. Это значение удовлетворяет условию $-7 \le -6.28 \le 7$.
- При $k = 2$, $x = 4\pi \approx 12.56$. Это значение не входит в промежуток $[-7, 7]$.
- При $k = -2$, $x = -4\pi \approx -12.56$. Это значение не входит в промежуток $[-7, 7]$.
При других целых значениях $k$ (кроме -1, 0, 1) корни также не будут попадать в искомый промежуток.

Следовательно, решениями являются $x=0$, $x=2\pi$ и $x=-2\pi$.
Ответ: $-2\pi; 0; 2\pi$.