Номер 28.50, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.50, страница 179.

28.50. $log_{x+2} (x^2 - 4x + 1) > log_{\frac{3x-5}{x-6}} 1$

Исходное неравенство:

$$ \log_{x+2}(x^2 - 4x + 1) > \log_{\frac{3x-5}{x-6}}(1) $$

Правая часть неравенства представляет собой логарифм от 1. Логарифм числа 1 по любому допустимому основанию равен 0. Таким образом, неравенство можно упростить:

$$ \log_{x+2}(x^2 - 4x + 1) > 0 $$

Для решения этого неравенства сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из исходного неравенства.

ОДЗ

Система ограничений:

$$ \begin{cases} x+2 > 0 & \text{(основание левого логарифма больше 0)} \\ x+2 \neq 1 & \text{(основание левого логарифма не равно 1)} \\ x^2 - 4x + 1 > 0 & \text{(аргумент левого логарифма больше 0)} \\ \frac{3x-5}{x-6} > 0 & \text{(основание правого логарифма больше 0)} \\ \frac{3x-5}{x-6} \neq 1 & \text{(основание правого логарифма не равно 1)} \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы:

1. $x+2 > 0 \implies x > -2$

2. $x+2 \neq 1 \implies x \neq -1$

3. $x^2 - 4x + 1 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2-\sqrt{3}) \cup (2+\sqrt{3}, +\infty)$.

4. $\frac{3x-5}{x-6} > 0$. Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = 5/3$ и $x = 6$.
Метод интервалов дает решение: $x \in (-\infty, 5/3) \cup (6, +\infty)$.

5. $\frac{3x-5}{x-6} \neq 1 \implies 3x-5 \neq x-6 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -1/2$.

Теперь найдем пересечение всех этих условий. Для наглядности расположим ключевые точки на числовой оси: $-2, -1, -1/2, 2-\sqrt{3} \approx 0.27, 5/3 \approx 1.67, 2+\sqrt{3} \approx 3.73, 6$.

Пересечение всех множеств дает итоговую ОДЗ:

$x \in (-2, -1) \cup (-1, -1/2) \cup (-1/2, 2-\sqrt{3}) \cup (6, +\infty)$.

Решение неравенства

Вернемся к упрощенному неравенству $log_{x+2}(x^2 - 4x + 1) > 0$. Представим 0 как $log_{x+2}(1)$:

$$ \log_{x+2}(x^2 - 4x + 1) > \log_{x+2}(1) $$

Решение этого неравенства зависит от значения основания $x+2$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1

Пусть $x+2 > 1$, то есть $x > -1$. В этом случае логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 4x + 1 > 1$

$x^2 - 4x > 0$

$x(x-4) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с условием $x > -1$ и с ОДЗ.
Условие $x > -1$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ дает $x \in (-1, 0) \cup (4, +\infty)$.
Пересечем этот результат с ОДЗ. Часть ОДЗ, где $x > -1$, это $x \in (-1, -1/2) \cup (-1/2, 2-\sqrt{3}) \cup (6, +\infty)$.
Пересечение $(-1, 0) \cup (4, +\infty)$ и $(-1, -1/2) \cup (-1/2, 2-\sqrt{3}) \cup (6, +\infty)$ дает:
$(-1, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (6, +\infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1

Пусть $0 < x+2 < 1$, то есть $-2 < x < -1$. В этом случае логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 4x + 1 < 1$

$x^2 - 4x < 0$

$x(x-4) < 0$

Решением этого неравенства является $x \in (0, 4)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $-2 < x < -1$. Так как интервалы $(0, 4)$ и $(-2, -1)$ не пересекаются, в этом случае решений нет.

Итоговый результат

Объединяя решения из двух случаев, получаем окончательное решение, которое совпадает с решением из первого случая.

Ответ: $x \in (-1, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (6, +\infty)$.