Номер 28.49, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.49, страница 179.

28.49. a) $\log_x (21 - 4x) > 2;$

б) $\log_{2x - 3} (x^2 - 10x + 9) \leq 2.$

а) $\log_x (21 - 4x) > 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице, а аргумент $21 - 4x$ должен быть строго положительным. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} 21 - 4x > 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x < 21 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 5.25 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 5.25)$.

Решение неравенства зависит от значения основания $x$. Рассмотрим два случая, на которые ОДЗ делит область определения.

Случай 1: $x > 1$.

При основании, большем единицы ($x > 1$), логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$21 - 4x > x^2$

$x^2 + 4x - 21 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 4x - 21$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-7, 3)$.

Учитывая условие этого случая ($x > 1$), получаем решение $x \in (1, 3)$. Этот интервал полностью удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $0 < x < 1$.

При основании от нуля до единицы ($0 < x < 1$), логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$21 - 4x < x^2$

$x^2 + 4x - 21 > 0$

Это неравенство выполняется вне интервала между корнями $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$: $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием этого случая ($0 < x < 1$): $\left( (-\infty, -7) \cup (3, \infty) \right) \cap (0, 1) = \emptyset$. В этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем итоговое решение.

Ответ: $(1, 3)$.

б) $\log_{2x - 3} (x^2 - 10x + 9) \le 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $2x-3$ должно быть положительным и не равным единице, а аргумент $x^2 - 10x + 9$ должен быть строго положительным.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 10x + 9 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \\ 2x - 3 \ne 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x^2 - 10x + 9 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$. Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство верно при $x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$.

2) $2x - 3 > 0 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > 1.5$.

3) $2x - 3 \ne 1 \Rightarrow 2x \ne 4 \Rightarrow x \ne 2$.

Найдем пересечение всех трех условий. Из $x > 1.5$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$ следует, что $x > 9$. Условие $x \ne 2$ при этом выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $x \in (9, \infty)$.

Рассмотрим основание логарифма $2x - 3$ на ОДЗ. Если $x > 9$, то $2x > 18$, и $2x - 3 > 15$. Следовательно, на всей области допустимых значений основание логарифма больше 1.

Так как основание $2x - 3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При потенцировании знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 10x + 9 \le (2x - 3)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 10x + 9 \le 4x^2 - 12x + 9$

$0 \le 3x^2 - 2x$

$x(3x - 2) \ge 0$

Корни $x = 0$ и $x = \frac{2}{3}$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \in (9, \infty)$):

$\left( (-\infty, 0] \cup [\frac{2}{3}, \infty) \right) \cap (9, \infty) = (9, \infty)$.

Ответ: $(9, \infty)$.