Номер 28.42, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.42, страница 178.

28.42. а) $\frac{(x - 3)\left(\frac{1}{3^x - 4} + 0,3\right)}{x + 2} \ge 0;$

б) $\frac{(x + 5)\left(\frac{1}{2^x + 1} + 0,2\right)}{x - 2} \le 0.$

а)

Решим неравенство $\frac{(x-3)\left(\frac{1}{3^{x-4}} + 0,3\right)}{x+2} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неравенства знаменателя нулю: $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Рассмотрим множитель в числителе $\left(\frac{1}{3^{x-4}} + 0,3\right)$. Выражение $\frac{1}{3^{x-4}}$ можно представить в виде $3^{4-x}$. Так как показательная функция $a^y$ (при $a > 0$) всегда положительна, то $3^{4-x} > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, сумма $\left(3^{4-x} + 0,3\right)$ также всегда положительна.

Поскольку множитель $\left(\frac{1}{3^{x-4}} + 0,3\right)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на это положительное число, не меняя знака неравенства. Неравенство упрощается до вида:

$\frac{x-3}{x+2} \ge 0$

Для решения этого рационального неравенства применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка включается в решение (закрашенная точка на оси).
Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Эта точка исключается из решения (выколотая точка), так как на ноль делить нельзя.

Отметим точки $-2$ и $3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. Определим знак выражения $\frac{x-3}{x+2}$ на каждом из них:
1. При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $\frac{-3-3}{-3+2} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Знак «+».
2. При $x \in (-2, 3)$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$. Знак «-».
3. При $x \in (3, \infty)$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4+2} = \frac{1}{6} > 0$. Знак «+».

По условию, нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует интервалам со знаком «+» и точке, где числитель равен нулю.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup [3, \infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{(x+5)\left(\frac{1}{2^{x+1}} + 0,2\right)}{x-2} \le 0$.

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Рассмотрим множитель $\left(\frac{1}{2^{x+1}} + 0,2\right)$. Выражение $2^{x+1}$ всегда положительно для любого $x$, а значит и обратная величина $\frac{1}{2^{x+1}}$ также всегда положительна. Сумма двух положительных чисел, $\frac{1}{2^{x+1}}$ и $0,2$, всегда является положительным числом.

Так как множитель $\left(\frac{1}{2^{x+1}} + 0,2\right)$ строго больше нуля, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя его знака. В результате получаем эквивалентное неравенство:

$\frac{x+5}{x-2} \le 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Эта точка является решением, так как неравенство нестрогое ($\le$).
Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Эта точка исключается из решения (выколотая точка).

Нанесем точки $-5$ и $2$ на числовую ось, которые разделят ее на три интервала. Определим знак дроби $\frac{x+5}{x-2}$ на каждом из интервалов:
1. При $x \in (-\infty, -5)$ (например, $x=-6$): $\frac{-6+5}{-6-2} = \frac{-1}{-8} > 0$. Знак «+».
2. При $x \in (-5, 2)$ (например, $x=0$): $\frac{0+5}{0-2} = -\frac{5}{2} < 0$. Знак «-».
3. При $x \in (2, \infty)$ (например, $x=3$): $\frac{3+5}{3-2} = 8 > 0$. Знак «+».

Согласно знаку неравенства ($\le$), нас интересует промежуток, где выражение отрицательно, а также точка, где оно равно нулю.

Следовательно, решением является промежуток $x \in [-5, 2)$.

Ответ: $[-5, 2)$.